פונקציית פוליגמא

במתמטיקה, פונקציית הפוליגמא מסדר m היא פונקציה מרומורפית אשר מוגדרת על ידי הנגזרת של הלוגריתם של פונקציית גמא:

\psi ^{(m)}(z):={\frac {d^{m}}{dz^{m}}}\psi (z)={\frac {d^{m+1}}{dz^{m+1}}}\ln \Gamma (z)

.

אז

\psi ^{(0)}(z)=\psi (z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}

כאשר $\Gamma (z)$ היא פונקציית גמא. פונקציית הפוליגמא היא פונקציה הולומורפית בתחום $\mathbb {C} \setminus -\mathbb {N} _{0}$ .

נוסחה על ידי אינטגרל[עריכת קוד מקור | עריכה]

אפשר להגדיר את פונקציית פוליגמא על ידי אינטגרל:

\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{m}e^{-zt}}{1-e^{-t}}}\ dt=-\int _{0}^{1}{\frac {t^{z-1}}{1-t}}\ln ^{m}t\ dt

\psi ^{(m)}(z+1)=\psi ^{(m)}(z)+{\frac {(-1)^{m}\,m!}{z^{m+1}}}

או על ידי

{\frac {\psi ^{(m)}(n)}{(-1)^{m+1}\,m!}}=\zeta (1+m)-\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k^{m+1}}}=\sum _{k=n}^{\infty }{\frac {1}{k^{m+1}}}\qquad m\geq 1

כאשר

\psi ^{(0)}(n)=-\gamma \ +\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k}}

לכול $n$ טבעי.

טור טיילור של פונקציית הפוליגמא היא:

\psi ^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}{\frac {(m+k)!}{k!}}\;\zeta (m+k+1)\;z^{k}\qquad m\geq 1

כאשר

\psi ^{(0)}(z+1)=-\gamma +\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}\zeta (k+1)\;z^{k}

אשר מתכנס כאשר לכל $z$ בעל ערך מוחלט של 1. במקרה זה זטא מוגדרת להיות פונקציית זטא של רימן.

מדיה וקבצים בנושא פונקציית פוליגמא בוויקישיתוף