פונקציית פוליגמא

גרפים של פונקציית דיגמא ושל שלוש פונקציות הפוליגמא הבאות לאורך הקו הממשי.

במתמטיקה, פונקציית הפוליגמא מסדר m היא פונקציה מרומורפית אשר מוגדרת על ידי הנגזרת ה-$m+1$ של הלוגריתם של פונקציית גמא:

$\psi ^{(m)}(z):={\frac {d^{m}}{dz^{m}}}\psi (z)={\frac {d^{m+1}}{dz^{m+1}}}\ln \Gamma (z)$,

כאשר, פונקציית הפוליגמא מסדר 0 הנקראת גם פונקציית דיגמא היא:

$\psi ^{(0)}(z)=\psi (z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}$

ו- $\Gamma (z)$ היא פונקציית גמא. פונקציית הפוליגמא היא פונקציה הולומורפית בתחום $\mathbb {C} \setminus -\mathbb {N} _{0}$.

גרפים של פונקציית הלוג של גמא ושל כמה פונקציות פוליגמא הראשונות במישור המורכב:

$\ln \Gamma (z)$	$\psi ^{(0)}(z)$	$\psi ^{(1)}(z)$
$\psi ^{(2)}(z)$	$\psi ^{(3)}(z)$	$\psi ^{(4)}(z)$

נוסחה על ידי אינטגרל

אפשר להגדיר את פונקציות הפוליגמא על ידי אינטגרלים:

$\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{m}e^{-zt}}{1-e^{-t}}}\ dt=-\int _{0}^{1}{\frac {t^{z-1}}{1-t}}\ln ^{m}t\ dt$

נוסחת נסיגה

וגם על ידי נוסחת נסיגה

$\psi ^{(m)}(z+1)=\psi ^{(m)}(z)+{\frac {(-1)^{m}\,m!}{z^{m+1}}}$

או על ידי

${\frac {\psi ^{(m)}(n)}{(-1)^{m+1}\,m!}}=\zeta (1+m)-\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k^{m+1}}}=\sum _{k=n}^{\infty }{\frac {1}{k^{m+1}}}\qquad m\geq 1$

כאשר

$\psi ^{(0)}(n)=-\gamma \ +\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k}}$

לכל $n$ טבעי ($\gamma$ הוא הקבוע של אוילר-מסקרוני).

טור טיילור

טורי טיילור של פונקציות הפוליגמא הם:

$\psi ^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}{\frac {(m+k)!}{k!}}\;\zeta (m+k+1)\;z^{k}\qquad m\geq 1$

כאשר

$\psi ^{(0)}(z+1)=-\gamma +\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}\zeta (k+1)\;z^{k}$

אשר מתכנס כאשר לכל $z$ בעל ערך מוחלט קטן מ-1. במקרה זה $\zeta$ היא פונקציית הזטא של רימן.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פונקציית פוליגמא בוויקישיתוף

• פונקציית פוליגמא, באתר MathWorld (באנגלית)