לדלג לתוכן

פונקציית דיגמא

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

המחשה של פונקציית דיגמא .
גרפים של החלק הממשי של פונקציית דיגמא ושל שלוש פונקציות הפוליגמא הבאות לאורך הקו הממשי

במתמטיקה, פונקציית הדיגמא מוגדרת כנגזרת הלוג של פונקציית הגמא:[1][2]

זאת הראשונה מבין פונקציות הפוליגמא. פונקציה זו מונוטונית עולה ממש וקעורה ממש על ,[3] והיא שקולה אסימפטוטית ל-[4]

עבור () בגזרה לכל .

פונקציית הדיגמא מסומנת לעיתים קרובות כ- או Ϝ.[5]

קשר למספרים ההרמוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקציית הגמא מקיימת את המשוואה

ניקח לוג של שני האגפים:

גזירה ביחס ל- :

מכיוון שהמספרים ההרמוניים מוגדרים עבור מספרים שלמים חיוביים n

מתקיים,

כאשר ו- הוא קבוע אוילר-מסקרוני. עבור ארגומנטים של חצי מספר שלם פונקציית דיגמא מקבלת את הערכים

ייצוגים אינטגרליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם החלק הממשי של הוא חיובי אז לפונקציית הדיגמא יש את הייצוג האינטגרלי של גאוס:[6]

שילוב של ביטוי זה עם זהות אינטגרלית עבור קבוע אוילר-מסקרוני נותן:

האינטגרל הזה הוא המספר ההרמוני של אוילר , כך שניתן לכתוב:

כתוצאה מקבלים הכללה של נוסחת נסיגה:

הייצוג אינטגרלי של דיריכלה:[6]

מהייצוג האינטגרלי של גאוס ניתן לקבל את הנוסחה הבאה של .[7]

נוסחה זו היא גם תוצאה של האינטגרל הראשון של בינה עבור פונקציית הגמא. ניתן לזהות את האינטגרל כהתמרת לפלס.

האינטגרל השני של Binet לפונקציית גמא נותן נוסחה שונה עבור :[8]

מתוך ההגדרה של והייצוג האינטגרלי של פונקציית הגמא, מקבלים

כאשר .[9]

ייצוג באמצעות מכפלה אינסופית[עריכת קוד מקור | עריכה]

הפונקציה היא פונקציה שלמה,[10] והיא יכולה להיות מיוצגת על ידי מכפלה אינסופית:

כאשר הוא האפס ה- של (ראה להלן) ו- הוא קבוע אוילר-מסקרוני.

הערה: זה גם שווה ל- בשל ההגדרה של פונקציית הדיגמא:

ייצוג כטור[עריכת קוד מקור | עריכה]

מנוסחת המכפלה של אוילר לפונקציית הגמא, בשילוב עם המשוואה הפונקציונלית וזהות עבור הקבוע של אוילר-מסקרוני, מתקבל הביטוי הבא לפונקציית הדיגמא, התקף במישור המורכב פרט למספרים השלמים השליליים (אברמוביץ וסטגון 6.3.16):[1]

חישוב סכומים של פונקציות רציונליות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להשתמש בזהות לעיל כדי להעריך סכומים מהצורה

כאשר ו- הם פולינומים של .

פירוק לשברים חלקיים של בשדה המורכב, במקרה שבו כל השורשים של הם שורשים פשוטים,

כדי שהטור יתכנס,

,

אחרת הטור יהיה גדול מהטור ההרמוני ויתבדר. לכן,

ונקבל,

ניתן לקבל גם נוסחה כללית באמצעות טורים עם פונקציות פוליגמא בדרגה גבוהה יותר:

בתנאי שהטור משמאל מתכנס.

טור טיילור[עריכת קוד מקור | עריכה]

לדיגמא יש טור זיטה רציונלית, הניתן על ידי פיתוח טור טיילור סביב הנקודה :

שמתכנס עבור . כאשר, היא פונקציית הזטה של רימן. טור זה מתקבל מהטור טיילור של פונקציית הזטה של Hurwitz.

טור ניוטון[עריכת קוד מקור | עריכה]

טור ניוטון לפונקציית דיגמא, המכונה לפעמים גם טור שטרן:[11][12]

כאשר הוא המקדם הבינומי. ניתן להכליל זאת ל-

כאשר .[12]

נוסחת השיקוף[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקציית הדיגמא מקיימת נוסחת שיקוף דומה לזו של פונקציית הגמא:

.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא פונקציית דיגמא בוויקישיתוף
  • Wimp, Jet (1961). "Polynomial approximations to integral transforms". Math. Comp. 15 (74): 174–178. doi:10.1090/S0025-5718-61-99221-3.
  • Abramowitz, M.; Stegun, I. A., eds. (1972). "6.3 psi (Digamma) Function.". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (10th ed.). New York: Dover. pp. 258–259.
  • "NIST. Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), Chapter 5".
  • פונקציית דיגמא, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ 1 2 Abramowitz, M.; Stegun, I. A., eds. (1972). "6.3 psi (Digamma) Function.". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (10th ed.). New York: Dover. pp. 259–258.
  2. ^ "NIST. Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), Chapter 5".
  3. ^ Alzer, Horst; Jameson, Graham (2017). "A harmonic mean inequality for the digamma function and related results" (PDF). Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova. 137: 203–209. doi:10.4171/RSMUP/137-10.
  4. ^ "NIST. Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), 5.11".
  5. ^ Pairman, Eleanor (1919). Tables of the Digamma and Trigamma Functions. Cambridge University Press. p. 5.
  6. ^ 1 2 Whittaker and Watson, 12.3.
  7. ^ Whittaker and Watson, 12.31.
  8. ^ Whittaker and Watson, 12.32, example.
  9. ^ "NIST. Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), 5.9".
  10. ^ Mező, István; Hoffman, Michael E. (2017). "Zeros of the digamma function and its Barnes G-function analogue". Integral Transforms and Special Functions. 28 (11): 846–858. doi:10.1080/10652469.2017.1376193.
  11. ^ Nörlund, N. E. (1924). Vorlesungen über Differenzenrechnung. Berlin: Springer.
  12. ^ 1 2 Blagouchine, Ia. V. (2018). "Three Notes on Ser's and Hasse's Representations for the Zeta-functions" (PDF). INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory. 18A: 1–45.