קבועים טריגונומטריים מדויקים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Incomplete-document-purple.svg יש להשלים ערך זה: ערך זה עשוי להיראות מלא ומפורט, אך עדיין חסר בו תוכן מהותי. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.
הנכם מוזמנים להשלים את החלקים החסרים ולהסיר הודעה זו. שקלו ליצור כותרות לפרקים הדורשים השלמה, ולהעביר את התבנית אליהם.
הקבועים הבסיסיים על מעגל היחידה הם כפולות של 30 ו-40 מעלות.

ייצוג קבועים טריגונומטריים מדויקים על ידי ביטויים מתמטיים שימושי להמרת ביטויים טריגונומטריים לביטויים רדיקלים (ביטויים מהצורה \sqrt[n]{a}).

ערכי סינוס, קוסינוס וטנגנס של כפולות 3° ניתנים לפיתוח על ידי זהויות טריגונומטריות מתוך הערכים הידועים של 0°, 30° ו-45°.

הרשימה כאן אינה שלמה, כיוון שניתן להמשיך ולחלק כל זווית נתונה לזויות קטנות ממנה.

רשימת קבועים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ערכים נוספים מחוץ לטווח הרשימה ניתן לחשב בקלות על ידי זהויות טריגונומטריות.

[עריכת קוד מקור | עריכה]

0
\sin 0=
1
\cos 0=
0
\tan 0=
לא מוגדר
\cot 0=

מצולע בעל 60 צלעות - 3°[עריכת קוד מקור | עריכה]

\frac{2(1-\sqrt3)\sqrt{5+\sqrt5}+\sqrt2(\sqrt5-1)(\sqrt3+1)}{16}\,
\sin\frac{\pi}{60}=\sin 3^\circ=
\frac{2(1+\sqrt3)\sqrt{5+\sqrt5}+\sqrt2(\sqrt5-1)(\sqrt3-1)}{16}\,
\cos\frac{\pi}{60}=\cos 3^\circ=
\frac{\left((2-\sqrt3)(3+\sqrt5)-2\right)\left(2-\sqrt{2(5-\sqrt5)}\right)}{4}\,
\tan\frac{\pi}{60}=\tan 3^\circ=
\frac{\left((2+\sqrt3)(3+\sqrt5)-2\right)\left(2+\sqrt{2(5-\sqrt5)}\right)}{4}\,
\cot\frac{\pi}{60}=\cot 3^\circ=

מצולע בעל 30 צלעות - 6°[עריכת קוד מקור | עריכה]

\frac{\sqrt{6(5-\sqrt5)}-\sqrt5-1}{8}\,
\sin\frac{\pi}{30}=\sin 6^\circ=
\frac{\sqrt{2(5-\sqrt5)}+\sqrt3(\sqrt5+1)}{8}\,
\cos\frac{\pi}{30}=\cos 6^\circ=
\frac{\sqrt{2(5-\sqrt5)}-\sqrt3(\sqrt5-1)}{2}\,
\tan\frac{\pi}{30}=\tan 6^\circ=
\frac{\sqrt3(3+\sqrt5)+\sqrt{2(25+11\sqrt5)}}{2}\,
\cot\frac{\pi}{30}=\cot 6^\circ=

מצולע בעל 20 צלעות - 9°[עריכת קוד מקור | עריכה]

\frac{\sqrt2(\sqrt5+1)-2\sqrt{5-\sqrt5}}{8}\,

\sin\frac{\pi}{20}=\sin 9^\circ=

\frac{\sqrt2(\sqrt5+1)+2\sqrt{5-\sqrt5}}{8}\,

\cos\frac{\pi}{20}=\cos 9^\circ=

\sqrt5+1-\sqrt{5+2\sqrt5}\,

\tan\frac{\pi}{20}=\tan 9^\circ=

\sqrt5+1+\sqrt{5+2\sqrt5}\,

\cot\frac{\pi}{20}=\cot 9^\circ=

מצולע בעל 15 צלעות - 12°[עריכת קוד מקור | עריכה]

\frac{\sqrt{2(5+\sqrt5)}-\sqrt3(\sqrt5-1)}{8}\,

\sin\frac{\pi}{15}=\sin 12^\circ=

\frac{\sqrt{6(5+\sqrt5)}+\sqrt5-1}{8}\,

\cos\frac{\pi}{15}=\cos 12^\circ=

\frac{\sqrt3(3-\sqrt5)-\sqrt{2(25-11\sqrt5)}}{2}\,

\tan\frac{\pi}{15}=\tan 12^\circ=

\frac{\sqrt3(\sqrt5+1)+\sqrt{2(5+\sqrt5)}}{2}\,

\cot\frac{\pi}{15}=\cot 12^\circ=

מתורסר, מצולע בעל 12 צלעות - 15°[עריכת קוד מקור | עריכה]

\frac{\sqrt2(\sqrt3-1)}{4}\,

\sin\frac{\pi}{12}=\sin 15^\circ=

\frac{\sqrt2(\sqrt3+1)}{4}\,

\cos\frac{\pi}{12}=\cos 15^\circ=

2-\sqrt3\,

\tan\frac{\pi}{12}=\tan 15^\circ=

2+\sqrt3\,

\cot\frac{\pi}{12}=\cot 15^\circ=

מעושר, מצולע בעל 10 צלעות - 18°[עריכת קוד מקור | עריכה]

\frac{\sqrt5-1}{4}=\frac{\varphi-1}{2}=\frac{1}{2\varphi}\,

\sin\frac{\pi}{10}=\sin 18^\circ=

\frac{\sqrt{2(5+\sqrt5)}}{4}\,

\cos\frac{\pi}{10}=\cos 18^\circ=

\frac{\sqrt{5(5-2\sqrt5)}}{5}\,

\tan\frac{\pi}{10}=\tan 18^\circ=

\sqrt{5+2\sqrt 5}\,

\cot\frac{\pi}{10}=\cot 18^\circ=

סכום זוויות: 9° + 12° = 21°[עריכת קוד מקור | עריכה]

\frac{2(\sqrt3+1)\sqrt{5-\sqrt5}-\sqrt2(\sqrt3-1)(1+\sqrt5)}{16}\,

\sin\frac{7\pi}{60}=\sin 21^\circ=

\frac{2(\sqrt3-1)\sqrt{5-\sqrt5}+\sqrt2(\sqrt3+1)(1+\sqrt5)}{16}\,

\cos\frac{7\pi}{60}=\cos 21^\circ=

\frac{\left(2-(2+\sqrt3)(3-\sqrt5)\right)\left(2-\sqrt{2(5+\sqrt5)}\right)}{4}\,

\tan\frac{7\pi}{60}=\tan 21^\circ=

\frac{\left(2-(2-\sqrt3)(3-\sqrt5)\right)\left(2+\sqrt{10\sqrt5}\right)}{4}\,

\cot\frac{7\pi}{60}=\cot 21^\circ=

מתומן, מצולע בעל שמונה צלעות - 22.5°[עריכת קוד מקור | עריכה]

\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\,

\sin\frac{\pi}{8}=\sin 22.5^\circ=

\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\,

\cos\frac{\pi}{8}=\cos 22.5^\circ=

\sqrt{2}-1\,

\tan\frac{\pi}{8}=\tan 22.5^\circ=

\sqrt{2}+1\,

\cot\frac{\pi}{8}=\cot 22.5^\circ=

סכום זוויות: 12° + 12° = 24°[עריכת קוד מקור | עריכה]

\frac{\sqrt3(\sqrt5+1)-\sqrt2\sqrt{5-\sqrt5}}{8}\,

\sin\frac{2\pi}{15}=\sin 24^\circ=

\frac{\sqrt6\sqrt{5-\sqrt5}+\sqrt5+1}{8}\,

\cos\frac{2\pi}{15}=\cos 24^\circ=

\frac{\sqrt{50+22\sqrt5}-\sqrt3(3+\sqrt5)}{2}\,

\tan\frac{2\pi}{15}=\tan 24^\circ=

\frac{\sqrt2\sqrt{5-\sqrt5}+\sqrt3(\sqrt5-1)}{2}\,

\cot\frac{2\pi}{15}=\cot 24^\circ=

סכום זוויות: 15° + 12° = 27°[עריכת קוד מקור | עריכה]

\frac{(\sqrt5+1)\sqrt{5+\sqrt5}-\sqrt2(\sqrt5-1)}{8}\,

\sin\frac{3\pi}{20}=\sin 27^\circ=

\frac{(\sqrt5+1)\sqrt{5+\sqrt5}+\sqrt2(\sqrt5-1)}{8}\,

\cos\frac{3\pi}{20}=\cos 27^\circ=

\sqrt5-1-\sqrt{5-2\sqrt5}\,

\tan\frac{3\pi}{20}=\tan 27^\circ=

\sqrt5-1+\sqrt{5-2\sqrt5}\,

\cot\frac{3\pi}{20}=\cot 27^\circ=

משושה, מצולע בעל שש צלעות - 30°[עריכת קוד מקור | עריכה]

\frac{1}{2}\,

\sin\frac{\pi}{6}=\sin 30^\circ=

\frac{\sqrt3}{2}\,

\cos\frac{\pi}{6}=\cos 30^\circ=

\frac{\sqrt3}{3}\,

\tan\frac{\pi}{6}=\tan 30^\circ=

\sqrt3\,

\cot\frac{\pi}{6}=\cot 30^\circ=

סכום זוויות: 18° + 15° = 33°[עריכת קוד מקור | עריכה]

\frac{2(\sqrt3-1)\sqrt{5+\sqrt5}+\sqrt2(1+\sqrt3)(\sqrt5-1)}{16}\,

\sin\frac{11\pi}{60}=\sin 33^\circ=

\frac{2(\sqrt3+1)\sqrt{5+\sqrt5}+\sqrt2(1-\sqrt3)(\sqrt5-1)}{16}\,

\cos\frac{11\pi}{60}=\cos 33^\circ=

\frac{\left(2-(2-\sqrt3)(3+\sqrt5)\right)\left(2+\sqrt{2(5-\sqrt5)}\right)}{4}\,

\tan\frac{11\pi}{60}=\tan 33^\circ=

\frac{\left(2-(2+\sqrt3)(3+\sqrt5)\right)\left(2-\sqrt{2(5-\sqrt5)}\right)}{4}\,

\cot\frac{11\pi}{60}=\cot 33^\circ=

מחומש, מצולע בעל חמש צלעות - 36°[עריכת קוד מקור | עריכה]

\frac{\sqrt{2(5-\sqrt5)}}{4}\,

\sin\frac{\pi}{5}=\sin 36^\circ=

\frac{1+\sqrt5}{4}=\frac{\varphi}{2}\,

\cos\frac{\pi}{5}=\cos 36^\circ=

\sqrt{5-2\sqrt5}\,

\tan\frac{\pi}{5}=\tan 36^\circ=

\frac{\sqrt{5(5+2\sqrt5)}}{5}\,

\cot\frac{\pi}{5}=\cot 36^\circ=

סכום זוויות: 21° + 18° = 39°[עריכת קוד מקור | עריכה]

\frac{2(1-\sqrt3)\sqrt{5-\sqrt5}+\sqrt2(\sqrt3+1)(\sqrt5+1)}{16}\,

\sin\frac{13\pi}{60}=\sin 39^\circ=

\frac{2(1+\sqrt3)\sqrt{5-\sqrt5}+\sqrt2(\sqrt3-1)(\sqrt5+1)}{16}\,

\cos\frac{13\pi}{60}=\cos 39^\circ=

\frac{\left((2-\sqrt3)(3-\sqrt5)-2\right)\left(2-\sqrt{2(5+\sqrt5)}\right)}{4}\,

\tan\frac{13\pi}{60}=\tan 39^\circ=

\frac{\left((2+\sqrt3)(3-\sqrt5)-2\right)\left(2+\sqrt{2(5+\sqrt5)}\right)}{4}\,

\cot\frac{13\pi}{60}=\cot 39^\circ=

סכום זוויות: 21° + 21° = 42°[עריכת קוד מקור | עריכה]

\frac{\sqrt6\sqrt{5+\sqrt5}-\sqrt5+1}{8}\,

\sin\frac{7\pi}{30}=\sin 42^\circ=

\frac{\sqrt2\sqrt{5+\sqrt5}+\sqrt3(\sqrt5-1)}{8}\,

\cos\frac{7\pi}{30}=\cos 42^\circ=

\frac{\sqrt3(\sqrt5+1)-\sqrt2\sqrt{5+\sqrt5}}{2}\,

\tan\frac{7\pi}{30}=\tan 42^\circ=

\frac{\sqrt{2(25-11\sqrt5)}+\sqrt3(3-\sqrt5)}{2}\,

\cot\frac{7\pi}{30}=\cot 42^\circ=

ריבוע, מצולע בעל ארבע צלעות - 45°[עריכת קוד מקור | עריכה]

\frac{\sqrt2}{2}\,

\sin\frac{\pi}{4}=\sin 45^\circ=

\frac{\sqrt2}{2}\,

\cos\frac{\pi}{4}=\cos 45^\circ=

1\,

\tan\frac{\pi}{4}=\tan 45^\circ=

1\,

\cot\frac{\pi}{4}=\cot 45^\circ=

משולש, מצולע בעל שלוש צלעות - 60°[עריכת קוד מקור | עריכה]

\frac{\sqrt3}{2}\,

\sin\frac{\pi}{3}=\sin 60^\circ=

\frac{1}{2}\,

\cos\frac{\pi}{3}=\cos 60^\circ=

\sqrt3\,

\tan\frac{\pi}{3}=\tan 60^\circ=

\frac{{\sqrt3}}{3}\,

\cot\frac{\pi}{3}=\cot 60^\circ=

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]