קו-מכפלה (תורת הקטגוריות)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, ובמיוחד בתורת הקטגוריות, קו-מכפלה של אובייקטים בקטגוריה היא הכללה של בניות שונות במתמטיקה, כגון איחוד זר של קבוצות, מכפלה חופשית של חבורות, סכום ישר של מרחבים וקטוריים וכו'. במהותה, קו-מכפלה של זוג אובייקטים היא הקונספט הדואלי למכפלה (תורת הקטגוריות).

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח כי C היא קטגוריה וכי היא משפחה של אובייקטים ב-C. הקו-מכפלה של הקבוצה היא אובייקט X ביחד עם אוסף מורפיזמים (הנקראות השיכונים הקנוניים, שהם לעתים קרובות, אם כי לא תמיד מונומורפיזמים) אשר מקיימים את התכונה האוניברסלית הבאה: לכל אובייקט Y ואוסף מורפיזמים קיים מורפיזם יחיד כך שלכל מתקיים . במילים אחרות, לכל j הדיאגרמה הבאה היא דיאגרמה קומוטטיבית:

התכונה האוניברסלית של קו-מכפלה

במילים אחרות, X הוא אובייקט התחלתי בקטגוריה עם המורפיזמים המתאימים (כך שהדיאגרמה המתאימה קומוטטיבית).

אם משפחת האובייקטים מכילה רק שני איברים, נהוג לסמן את המכפלה ב, ואז התכונה האוניברסלית מבוטאת על ידי הדיאגרמה הקומוטטיבית הבאה:

התכונה האוניברסלית של מכפלת זוג אובייקטים

המורפיזם היחיד f ההופך את הדיאגרמה לקומוטטיבית מסומן לעתים ב-f1f2 או f1f2 או f1 + f2 או [f1, f2].

באופן כללי, הקו-מכפלה של מסומנת

ולעתים

.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • בקטגוריית הקבוצות, איחוד זר של קבוצות היא קו-מכפלה, כאשר השיכונים ו- הם פשוט ההכלות (כגון ). בפרט, , וזו הסיבה מדוע משתמשים לעתים בסימן ∐ לציין איחוד זר.
  • אפשר לבנות קו-מכפלה גם של קבוצות לא זרות באופן הבאה: אם לוקחים קבוצה שוות עוצמה ל-B שזרה ל-A ואז בונים את האיחוד עם שיכון כאשר היא פונקציית שקילות של קבוצות.
  • קו-מכפלה בקטגוריה של חבורות אבליות היא סכום ישר של החבורות, ומסומנת .
  • קו-מכפלה בקטגוריה של מרחבים וקטוריים היא סכום ישר של המרחבים, ומסומנת כאשר את איבריה ניתן להציג כקבוצת כל הסכומים הסופים של איברים מ-V, כלומר: שכמעט לכל האיבר שבא מ- שווה לאפס. למשל: אך .
  • בקטגוריה של חוגים קומוטטיביים עם יחידה, המכפלה הטנזורית של A ו-B הםומנת ב היא קו-מכפלה, ביחד עם השיכונים הקנוניים ו-.

קיום ויחידות[עריכת קוד מקור | עריכה]

לא בכל קטגוריה C קיימת לכל משפחה קו-מכפלה. אם קיימת המכפלה אז היא יחידה במובן הבא: אם ו- הן זוג מכפלות של המשפחה אז קיים איזומורפיזם יחיד כך ש .

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]