שוויון (מתמטיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה ובלוגיקה, שוויון בין שני עצמים מציין זהות מוחלטת ביניהם, בכל מאפייניהם. השוויון הוא יחס, המסומן ב"=", ומתקיים: x=y אם ורק אם x ו-y שווים זה לזה.

שוויון הוא מושג המופיע בכל תחומי המתמטיקה, תוך התייחסות לעצמים שבכל תחום. כך מוגדר שוויון בין מספרים, קבוצות, פונקציות, גרפים וכדומה. בכל ביטוי מתמטי של שוויון ישנם שני אגפים: ימני ושמאלי.

דוגמה: שוויון בין מספרים:

2 + 4 = 6

שוויון זה מציין שני מספרים, הראשון הוא המספר "6", והשני "2 + 4". השוויון מראה כי שני צדדיו של סימן השוויון מייצגים את אותו מספר כפי שמתקבל מהגדרת החיבור.

באופן פורמלי שוויון בין איברי קבוצה מוגדר בתור היחס: \{(x, x)\;|\;x\in X\}

שוויון הוא יחס שקילות, כלומר הוא יחס רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי. משמעות תכונות אלה כאשר מדובר בשוויון:

  • רפלקסיביות: A = A כל עצם שווה לעצמו.
  • סימטריות: אם A = B אז B = A.
  • טרנזיטיביות: אם A = B וגם A = C אזי B = C, כלומר בהינתן שני עצמים אשר יש ביניהם שוויון, ואחד מהם שווה לעצם שלישי, אזי השני והשלישי שווים גם הם.

שוויון הוא עידון של כל יחס שקילות אחר, כלומר הוא מתאים לחלוקה הטריוויאלית של כל קבוצה. שוויון הוא יחס אנטי-סימטרי ולכן הוא גם יחס סדר מנוון. זהו היחס היחיד שהוא גם יחס שקילות וגם יחס סדר, ובאופן כללי יותר היחס היחיד שהוא רפלקסיבי, סימטרי ואנטי-סימטרי.

שוויון מקיים גם את תכונת ההחלפה: לכל A ו-B ופונקציה F, אם A=B, אז גם (F(A)=F(B. לדוגמה:

  • עבור A, B, C ממשיים - אם A=B אז A+C=B+C
  • עבור A, B, C ממשיים - אם A=B אז A-C=B-C
  • עבור A, B, C ממשיים - אם A=B אז AC=BC
  • עבור A, B, C≠0 ממשיים - אם A=B אז A/C=B/C

בתורת ההיסק, תכונות השוויון נקבעות כאקסיומות.