שיחה:גבול (מתמטיקה)
איך לדעתכם צריך להציג את המושג הזה? אני חושב שנכון יותר להתחיל מגבול של סדרה, כי הוא מקרה פרטי וברור יותר של גבול של פונקציה, וניתן להגדיר גבול של פונקציה באמצעותו. חוץ מזה, יש את השאלה האם להציג גבול בתור גבול של מספרים ממשיים, כמו שעושים באינפי וחדו"א, או להשתמש בהגדרות הטופולוגיות של מטריקות? או להציג את שתיהן, ואת אלו של הממשיים קודם? או לפצל? אשמח אם מישהו שמכיר טופולוגיה (ואינפי) טוב יעזור לי כאן. Gadial
א. אם אני זוכר נכון, כשאני למדתי על גבולות אכן ד"ר קרביצקי ז"ל התחיל מגבולות של סדרות. ובכל מקרה זה נשמע הגיוני.
- לרוב מקובל להתחיל מגבולות של סדרות. כשלמדתי בפתוחה התחילו מגבול של פונקציה, ועכשיו בטכניון התחילו מגבול של סדרה, ורוב ספרי הלימוד שראיתי גם כן מתחילים מגבול של סדרה, בעיקר כי הוא מקרה פרטי ופשוט יותר של גבול של פונקציה (סה"כ סדרה היא פונקציה מהטבעיים) וכי קל בעזרת הגדרת הגבול של היינה להבין איך מוגדר גבול של פונקציה, בעוד שהכיוון השני הרבה פחות אינטואיטיבי. Gadial
ב. שים לב ש"גבול" הוא לא רק מושג מתמטי, הוא גם מושג גיאוגרפי-מדיני. ב"דפים המוקשרים" לערך גבול, תמצא בגלל זה גם קישור מהערך "המאה ה-20". הקיצור צריך לשנות את השם של הערך הזה ל גבול (מתמטיקה) או משהו כזה.
eman 19:44, 3 פבר' 2004 (UTC)
- מסכים, אני אנסה להעביר את זה Gadial
- חשוב להתחיל בהגדרת הגבול בממשיים, כי מושג המטריקה זר לרוב הקוראים, וזה דילוג גדול מדי. אחרי ההגדרה בממשיים אפשר להכליל ולעבור למרחב מטרי כלשהו. זה כמובן יחייב אותך להגדיר מושגים נוספים אלה. דוד שי 20:13, 3 פבר' 2004 (UTC)
גבול שמת בל יעבורון[עריכת קוד מקור]
צריך לארגן מחדש את ערכי הגבולות, שהולכים ומסתבכים. אני מציע ארגון כזה:
- גבול (של סדרה) - הגדרה (גבול סופי ואינסופי), גבול תחתון וגבול עליון, שילוב הערך אריתמטיקה של גבולות.
- מבחני התכנסות - בנפרד (כולל הפניות למבחנים שנמצאים משום מה בערך נפרד, כמו כלל הסנדוויץ'; בכל מקרה צריך ערך שישווה בין המבחנים השונים).
- גבול (של פונקציה) - גבול של פונקציה ממשית. הגדרה לפי אפסילון ודלתא ולפי גבולות; הקשר לרציפות; אריתמטיקה של גבולות.
- גבול (של סדרת פונקציות) - משפטים על רציפות, גזירות ואינטגרביליות של גבול של סדרת פונקציות.
- גבול (טופולוגיה) - גבול של סדרה במרחב מטרי; גבול במרחב טופולוגי; גבול של רשת; הקשר לסגור (טופולוגיה).
- גבול תחתון וגבול עליון - הפניות לגבול של סדרה
- גבול (מתמטיקה): שער לנושא, ומקבץ הפניות.
- גבול: הפניה לגבול (מתמטיקה) כפירוש נוסף, כפי שיש בהווה.
עוזי ו. 15:29, 3 אוגוסט 2006 (IDT)
- רעיון טוב. דוד שי 22:51, 5 אוגוסט 2006 (IDT)
- מצד אחד, זה נשמע כמו רעיון טוב. מצד שני, זה פירוק לחלקים שיקשה על ההדיוט לקבל תמונה שלמה. כבר פחות ברור לקרוא ההדיוט מאיפה כדאי להתחיל - מגבול של סדרה, או מגבול של פונקציה? אולי דווקא מהגבול הטופולוגי? אני לא אומר שיש למנוע את הפיצול, אבל כדאי למצוא דרך להתגבר על הבעיה הזו. גדי אלכסנדרוביץ' 23:48, 5 אוגוסט 2006 (IDT)
- שגבול (מתמטיקה) יכיל הסבר כללי בנוסף להפניה לערכים המפורטים.
- גדי - זה לא בהכרח פיצול. במצב הנוכחי, היבטים שונים של גבול של סדרות (למשל) מפוזרים בכמה מקומות.
- הסבר כללי באמת עדיף מאשר דף פירושונים. גבול (מתמטיקה) יכיל פסקה או שתיים על הרעיון הפילוסופי של גבול (טיפול בגדלים "קטנים לאינסוף" על-ידי משחק "לכל אפסילון שיתנו לי, אני יכול למצוא דלתא"), על הרקע ההסטורי (משיטת המיצוי דרך ניוטון ולייבניץ ועד קושי), והפניות מסודרות (שמהן אפשר יהיה להבין שצריך לקרוא את גבול (של סדרה) לפני גבול (טופולוגיה)). עוזי ו. 14:50, 6 אוגוסט 2006 (IDT)
- אהבתי ! רעיון מצויין. Maromn 12:56, 9 אוגוסט 2006 (IDT)
- שגבול (מתמטיקה) יכיל הסבר כללי בנוסף להפניה לערכים המפורטים.
- מי המציא את ההגדרה עם האפסילון והדלטא, זה היה קושי או קארל ויירשטראס? ואגב יש כבר מבחני התכנסות לטורים אבל חסרות הוכחות ואין מבחני התכנסות לסדרות...
- הרעיון שבמושג הגבול היה מוכר כבר במאה ה-17, כלומר בתקופתם של ניוטון ולייבניץ.
- אבל הניסוח שבהם השתמשו היה שונה(אבל דומה) מהגדרת הגבול בלשון האפסילון והדלתא - שאת ניסוח זה המציא וירשטראס. Maromn 13:33, 9 אוגוסט 2006 (IDT)
- אז למה קוראים לזה הגדרת הגבול על-פי קושי?
- כי זה הוא שתיאר לראשונה את המושג "x שואף ל-0" במונחים שדומים למה שמשתמשים היום: "ההגדרה בלשון אפסילון ודלתא", שלמעשה משתמשים בשני השמות "ע"פ קושי" או זה. Maromn 15:16, 9 אוגוסט 2006 (IDT)
- אז אם ויירשטראס המציא את הגדרת האפסילונים והדלתות, איך הוא השתמש בה? מה הוא תיאר? גדי אלכסנדרוביץ' 15:25, 9 אוגוסט 2006 (IDT)
- אין לי מושג איך קושי בדיוק תיאר את זה, זה באמת מעניין. אבל באופן דומה כפי שנאמר. Maromn 15:34, 9 אוגוסט 2006 (IDT)
- אז אם ויירשטראס המציא את הגדרת האפסילונים והדלתות, איך הוא השתמש בה? מה הוא תיאר? גדי אלכסנדרוביץ' 15:25, 9 אוגוסט 2006 (IDT)
- כי זה הוא שתיאר לראשונה את המושג "x שואף ל-0" במונחים שדומים למה שמשתמשים היום: "ההגדרה בלשון אפסילון ודלתא", שלמעשה משתמשים בשני השמות "ע"פ קושי" או זה. Maromn 15:16, 9 אוגוסט 2006 (IDT)
- אז למה קוראים לזה הגדרת הגבול על-פי קושי?
מה עשיתי:
- כתבתי את גבול (מתמטיקה).
- הרחבתי ושיפצתי את גבול של סדרה
- בניתי שלד חלקי לגבול (טופולוגיה).
מה נשאר לעשות:
- להוסיף לגבול של סדרה באופן ברור, על גבולות אינסופיים; ועל גבולות חלקיים, גבול תחתון וגבול עליון. להוסיף הוכחה לכללי האריתמטיקה של גבולות.
- לכתוב את גבול (טופולוגיה).
- לכתוב את גבול של סדרת פונקציות (זה לא "גבול במרחב הפונקציות המתאים").
- לשפץ את גבול של פונקציה - גבול של פונקציה ממשית. הגדרה לפי אפסילון ודלתא ולפי גבולות; הקשר לרציפות; אריתמטיקה של גבולות. עוזי ו. 18:53, 9 אוגוסט 2006 (IDT)
לדעתי כל ערכי הגבולות צריכים להיות ערך אחד, המציג את הנושא בהדרגה מהקל אל הקשה. נוי - שיחה 19:01, 4 באוקטובר 2008 (IDT)
- אבל הם לא עוסקים באותו אובייקט. ראה גבול (מתמטיקה) - זה אותו "ערך אחד" המציג את הנושא. כל השאר נחוצים לפירוט. עוזי ו. - שיחה 19:45, 4 באוקטובר 2008 (IDT)
- אני חושב שהפירוט יכול להיכלל גם הוא בערך ראשי ומורחב. אני בכלל שחושב שבוויקיפדיה נוטים יותר מדי לפזר מידע להמון ערכים בצורה שמבלבלת את הקורא (אותי בכל אופן). נוי - שיחה 20:04, 4 באוקטובר 2008 (IDT)
אי קיום גבול[עריכת קוד מקור]
נראה לי שכדאי לשלב את התוספת בערך שעוסק בגבול של סדרות - פשוט כי הערך הנוכחי הוא מעין "מבוא", ולא נכנס לפרטים הטכניים. בנוסף, גם בערך על גבול של פונקציה צריך להביא דוגמאות. גדי אלכסנדרוביץ' 13:27, 27 באוקטובר 2006 (IST)
התכנסות ואינסוף[עריכת קוד מקור]
בערך נאמר:
גבולה של סדרה, כאשר הוא קיים, הינו מספר שאליו הולכים ומתקרבים אברי הסדרה - גם אם ערך זה אינו מופיע בסדרה כלל.
אם זוהי סדרה אינסופית אז ברור לחלוטין כי אינסוף איברי R אינם מתקרבים כלל לשום ערך נתון. התקרבות תקיפה רק בתנאי שאנו עוסקים בסדרה סופית של איברי R.
במילים אחרות, התכנסות קיימת, רק בכמות איברים סופית, והיא אינה קיימת כלל בהינתן אוסף אינסופי של איברי R, הקיים בין ערך שרירותי בסדרה, לערך הקיים בגבול עצמו.
שיוך תכונת התכנסות לקבוצה אינסופית של איברי R, נובעת מאי-הבחנה בין הסופי (שבו קיימת התכנסות) לאינסופי (שבו לא קיימת התכנסות). דורון שדמי 00:53, 4 בפברואר 2007 (IST)
- לא ברור לחלוטין. גדי אלכסנדרוביץ' 01:04, 4 בפברואר 2007 (IST)
- הוכח נא כי אתה מתקרב לערך נתון, בהינתן אינסוף איברי R הקיימים בין ערך שרירותי כלשהו בסדרה, לערך הנתון. דורון שדמי 01:14, 4 בפברואר 2007 (IST)
- אני מציע שתסביר בדף השיחה של 0.999... מדוע, לדעתך, הביטוי הזה אינו שווה ל- 1. זו תהיה הדגמה חיה בעלת ערך חינוכי רב ביותר. עוזי ו. 01:49, 4 בפברואר 2007 (IST)
- הוכח נא כי אתה מתקרב לערך נתון, בהינתן אינסוף איברי R הקיימים בין ערך שרירותי כלשהו בסדרה, לערך הנתון. דורון שדמי 01:14, 4 בפברואר 2007 (IST)
- עוזי, הרי ברור לחלוטין שתמיד נשמרת העוצמה של R בכל קטע הקיים בין ערך שרירותי נתון על הישר-הממשי, לערך המוגדר כגבול. לכן כאשר אנו עוסקים בעוצמה אינסופית, אז מושגים כמו "מתכנס", "קרוב מספיק כדי ..." מאבדים ממשמעותם ואינם יותר ממשאלת לב הכופה מושגים הלקוחים מהסופי, על האינסופי.
- מנקודת המבט של סדרת איברים מובחנים-היטב המקיימת עוצמה אינסופית, מתקיימת אינטרפולציה אינסופית (אי-מידלגיות אינסופית בין אלמנטים מובחנים-היטב) המונעת את ביטולו המוחלט של הפער הקיים בין ערך שרירותי כלשהו לערך המוגדר כגבול. מנקודת מבט זו של עוצמה אינסופית, שום דבר לא מתכנס לערך המוגדר כגבול.
- שיטותיהם של קושי,ויירשטרס ודדקינד, אינן יותר מאשר שיטות כפיה, המתעלמות מעוצמתה של אינטרפולציה אינסופית (אי-מידלגיות אינסופית בין אלמנטים) וכופות שיטות אקסטרפולטיביות (מידלגיות בין אלמנטים) אשר, כאמור, משתמשות בטרמינולוגיה כגון "מתכנס" "קרוב מספיק כדי ..." וכו' הלקוחה בעוצמות סופיות.
- אתה יכול לטעון כי כאשר אנו נמצאים בעוצמה אינסופית, אז בהכרח אנו נמצאים או משיגים את ערך הגבול עצמו. זאת אומרת שדבר לא מתכנס בעוצמה אינסופית אלא אנו קיימים סימולטנית הן בערך שרירותי כלשהו על הישר-הממשי והן בערך הגבול עצמו, אך אז אתה צריך להשתמש במתמטיקה של אי-לוקליות, המאפשרת לאלמנט מתמטי להתקיים סימולטנית בשני ערכים שונים.
- אלמנט לא-לוקאלי (קיום סימולטני של לפחות שני ערכים שונים) אינו קיים במסגרת שיטות האנליזה שפיתחו קושי, ויירשטרס ודדקינד, ולכן שיטותיהם ושיטות אלה הממשיכים את תורתם, אינן אלא כפיה של הסופי על האינסופי, המנסה לכפות אלמנט מקומי (אלמנט המקיים "סימולטנית" ערך יחיד בלבד) כאלמנט שיש בכוחו להשיג במדוייק את ערכו של גבול נתון.
- לדיון מפורט בנושא (הכולל גם את חקירת ...999. ) ראה נא ב:
טעות בערך[עריכת קוד מקור]
הפונקציה f(x) שמופיעה כדוגמה לגבול של פונקציה תחת הכותרת היסטוריה, היא בכלל פונקציה ליניארית ששואפת לאינסוף. קשה לי לערוך משוואות בויקיפדיה אז אבקש ממישהו אחר לתקן את זה. הפונקציה צריכה להיות: (4x^2-4)/(x^2-2) 109.186.91.56 21:49, 13 במאי 2023 (IDT)
- הפונקציה שבערך שואפת ל-4 (כאשר x שואף ל-2). לא ברור לפי איזה קריטריון אתה קובע מה הפונקציה "צריכה להיות". עוזי ו. - שיחה 03:43, 14 במאי 2023 (IDT)
התכנסות במידה שווה[עריכת קוד מקור]
גם בהתכנסות במידה שווה לכל נקודה יכול להיות קצב התכנסות שונה. Shmoran - שיחה 07:54, 26 בדצמבר 2023 (IST)
- נכון, אבל יש חסם משותף על הקצב. כדי להסביר את ההבדל בין התכנסות במידה שווה להתכנסות נקודתית צריך לאפשר ניסוח שמדבר על ה-worst case scenario. עוזי ו. - שיחה 13:39, 26 בדצמבר 2023 (IST)
- או פשוט לכתוב מה שכתבת, פלוס מינוס - שיש חסם משותף על קצב ההתכנסות Shmoran - שיחה 08:50, 27 בדצמבר 2023 (IST)
השלמת כתיבת הערך גבול (מתמטיקה)[עריכת קוד מקור]
אני מנסה להשלים את כתיבת הערך, ומתקדם בשלבים. אשמח להערות. Shmoran - שיחה 08:54, 27 בדצמבר 2023 (IST)
הסרת ההערה הפותחת[עריכת קוד מקור]
בשבועות האחרונים בצעתי שינויים ותוספות לרוב בערך זה, ולאחר מכן הסרתי את ההערה הפותחת "יש להשלים ערך זה: בערך זה חסר תוכן מהותי." Shmoran - שיחה 09:54, 12 בינואר 2024 (IST)
עדיין יש מקום לשיננויים מקומיים אותם אבצע בעתיד.