שיחה:הרחבת שדות

איזה יופי. ערך לתפארת. Harel 22:37, 8 ינואר 2006 (UTC)

כמה הערות

1. בשום מקום לא אומרים שהרחבה של שדה מהווה מרחב וקטורי מעליו. כתוצאה מכך, מגניבים את מושג ה"ממד" רק בתחילת החלק העוסק באלגבריות, ושם לא ברור מאיפה זה צץ בכלל, אז לא ברור מה יבין מזה הקורא (דוגמה למחשבה שעלולה לצוץ בראשו של קורא נאיבי: "אה, הממד של הרחבה הוא בטח מספר האיברים בקבוצת יוצרים מינימלית").
2. נעשה שימוש חופשי בסימון $\ F(\theta )$ מבלי להסביר מה משמעותו. גם ליחס שבינו ובין $\ F[\theta ]$ לא נכנסים.
3. החלק על הפירוק להרחבה טרנסצנדנטית שמעליה הרחבה אלגברית די מבלבל. לא ברור, למשל, מה קורה במקרה של $\ \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$. האם זה מקרה "מנוון"? אם כן, יש להתייחס למשמעות של "ניוון" בהקשר הזה. אם לא, אפשר להביא את המקרה הזה בתור דוגמה נוספת, במקום שדה הפונקציה שהוא דוגמה קצת פחות אינטואיטיבית.
4. בכלל, די חבל שהמקום הראשון שבו נתקלים בדוגמה קונקרטית של הרחבה היא בתור דוגמה לכל עניין הפירוק. לא הגיוני להביא כמה וכמה דוגמאות (פרט לאמירה ש-R היא הרחבה של Q) עוד קודם בפירוט?
5. אולי כדאי להעביר את הסעיף על הרחבות פשוטות להתחלה, כי הוא מציג בצורה די ברורה את דרך היצירה של הרבה שדות. את ההערה על כך שכל הרחבה ספרבילית היא פשוטה אפשר להכניס לסעיף העוסק בספרביליות.
6. האם אזכור של המשפט $\ [L:K][K:F]=[L:F]$ מעביר אותנו לגובה הדשא?
7. האם לא כדאי לאזכר שדות פיצול בערך הזה? (גם ברמת ה"ראו גם"?)
8. האם לא כדאי לאזכר בניות בסרגל ומחוגה בערך הזה? (גם ברמת ה"ראו גם"?)

גדי אלכסנדרוביץ' 06:12, 14 מרץ 2006 (UTC)

1,2,5,6,7 - אימצתי את ההמלצה ב-5, והרחבתי בשאר המקרים. הוספתי גם כותרות משנה.

3 - הרעיון בפירוק הוא שאפשר לקבל קודם את המרכיב הטרנסצנדנטי, ואז את האלגברי. בהרחבות אלגבריות אין מה לפרק. הוספתי משפט קצר בעניין הזה.

4 - מה חסר? אני לא רואה טעם בדוגמאות אלגבריות נוצרות סופית (זה הסוג ה"טריוויאלי" של הרחבות, שמטופל על-ידי תורת גלואה). דוגמאות אחרות קצת קשה להסביר.

8 - השדה הזה מוזכר בדרך אגב כדוגמא להרחבה שאינה נוצרת סופית. אני לא חושב שהוא זכאי להפנית "ראו גם". עוזי ו. 07:09, 15 מרץ 2006 (UTC)

3 - לא הכי ברור לי מה הוספת, כי עדיין טוענים בערך ש"כל הרחבה אפשר לפרק, אבל עדיין לא הבנתי איך מפרקים הרחבות אלגבריות.

4 - מה רע בכמה דוגמאות "טריוויאליות" בתחילת הערך כדי שאפשר יהיה להבין מה זו הרחבת שדות? שים לב, אני לא מבקש דוגמאות לסעיף של הפירוק מ-3, אלא לדוגמאות להרחבות (נושא הערך) באופן כללי. זה לא משהו אינטואיטיבי, וצריך לראות דוגמאות כדי להבין מה הולך כאן.

8 - אני מאוד אהבתי לראות שאחד השימושים הטריוויאליים של המושג של הרחבת שדות הוא פתרון בעיה מתמטית בת 2,000 שנים, ולדעתי זה ראוי לאזכור בערך עצמו (תחת "שימושים מגובה הדשא"), או לכל הפחות לאזכור ב"ראו גם", אבל זו הבחירה שלך.

בסך הכל, ערך נהדר. כל הכבוד! גדי אלכסנדרוביץ' 07:15, 15 מרץ 2006 (UTC)

ועוד הערה: מדוע לא מובאת בערך ההרחבה של המספרים הממשיים למרוכבים? זוהי דוגמה יפה ופשוטה שיכולה להדגים הן את מושג ההרחבה, והן את סוג ההרחבה (הרחבה פשוטה, ממד ההרחבה, ואולי אפילו עוד מושגים שמופיעים בערך). מותר גם לתת דוגמאות פשוטות... אבינעם 19:39, 15 מרץ 2006 (UTC)

טופל, למעט עניין הבניות במחוגה וסרגל: הפתרון שם הוא בעיקר שימוש במושג הממד, וקשה לי לראות בזה שימוש במושג "הרחבה". עוזי ו. 00:26, 16 מרץ 2006 (UTC)

חשבתי שמושג הממד בהקשר הזה הוא אחד מהמושגים הבסיסיים שנובעים ממושג ההרחבה. גדי אלכסנדרוביץ' 05:15, 16 מרץ 2006 (UTC)

טעות בסימון

האם לא אמורים לסמן $F[a_{1},a_{2},...,a_{n-1},a_{n}]$ ולא $F(a_{1},a_{2},...,a_{n-1},a_{n})$ כדי לסמן את סיפוח האיברים $a_{1},a_{2},...,a_{n-1},a_{n}$ לשדה F בפסקה "יוצרים של הרחבה"?

Nanoo - שיחה 15:48, 25 באפריל 2012 (IDT)

המשכתי לקרוא עוד קצת והבנתי שהתבלבלתי בין חוג לשדה.

Nanoo - שיחה 15:55, 25 באפריל 2012 (IDT)

שתי תהיות של מתמטיקאי חובב

בקריאת הערך (המרשים!) נתקלתי בשני משפטים תמוהים, שנראים לי על פניו שגויים; אשמח אם הם יתוקנו במידה שהם אכן שגויים, או שתתוספנה הבהרות במידה שהם לא:

• "הרחבה K/F היא פשוטה אם ורק אם יש לה מספר סופי של הרחבות ביניים (תת-שדות $\ F\subset L\subset K$)‏‏"

מה קורה אם מוסיפים ל־F אבר טרנסנדנטי? זוהי הרחבה פשוטה, אבל ישנם אינסוף שדות ביניים אפשריים המתקבלים מהוספת חזקות של אותו אבר.

• "כל הרחבה שבה השדה הגדול סופי היא ספרבילית."

מה קורה אם מוסיפים לשדה סופי אבר לא־ספרבילי אחד? לא מקבלים שדה גדול סופי, אבל בהרחבה לא־ספרבילית?

217.255.103.87 17:55, 3 באוגוסט 2013 (IDT)

הרחבה מהצורה $\ F(x)/F$ היא פשוטה ויש לה אינסוף שדות ביניים. המקור מתייחס להרחבות ממימד סופי - תקנתי בערך.

לגבי הוספת איבר לא ספרבילי לשדה סופי, זה בלתי אפשרי: מעל שדה סופי ממאפיין p יש לכל פולינום מהצורה $\ \lambda ^{p}-a$ שורש. במלים אחרות, כל פולינום אי-פריק מעל שדה סופי הוא ספרבילי. עוזי ו. - שיחה 21:56, 3 באוגוסט 2013 (IDT)

תודה על התגובה! כנראה הכוונה במשפט הראשון היא באמת להרחבות סופיות, ואילו בשני לא הייתי מודע לזה שמעל שדה סופי זה לא אפשרי. בינתיים שמתי לב למשהו נוסף: בערך מוזכרת "הלמה של שטייניץ", אבל הכוונה היא בעצם למשפט ארטין, לא? 217.255.103.87 23:09, 3 באוגוסט 2013 (IDT)

תיקנתי את שם הלמה בערך. עוזי ו. - שיחה 23:42, 3 באוגוסט 2013 (IDT)

שאלות

• "באופן שפעולות החיבור והכפל בשדה הגדול מסכימות עם אלו המוגדרות בשדה הקטן" - מה זה "מסכימות" ?
• בדוגמאות עוברים מהר מאד לסימונים מתמטיים שאינם בהכרח מובנים לקורא כמו QRC, האם הקורא אמור לנחש מדוע $\ \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$? איזה איברים יש בשדה הגדול שאינם נמצאים בשדה הקטן? האזרח דרור - שיחה 10:39, 19 בדצמבר 2016 (IST)

(1) מתלכדות, זהות. אפשר להכפיל שני מספרים רציונליים ככאלה, ואפשר להכפיל אותם כממשיים - והתוצאה שווה בשני המקרים. (2) שורש 2. עוזי ו. - שיחה 10:48, 19 בדצמבר 2016 (IST)

תודה על 1 (צריך להבהיר את זה בערך עצמו איכשהו, האם יש דוגמאות נגדיות לכך שפעולות אינן מתלכדות זו עם זו ).

אני מנסה לתרגם למילים ולדוגמאה מפורטת את "$\ \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$, הרחבה פשוטה מממד 2." - במילים : "את שדה המספרים הרציונליים Q , ניתן להרחיב לשדה המספרים הרציונליים עם שורש 2 $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$, כלומר כזה הכולל גם את המספרים... (חצי שורש שתיים, 3 חמישיות שורש שתיים, 2 שורש שתיים, מינוס 3 שורש שתיים, יש עוד?). שורש 2 הוא מספר מספר אי-רציונלי -הוא לא ניתן להצגה כשבר של שני מספרים שלמים ולכן הוא לא נמצא ב-Q. השדה $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ לא מכיל מספרים אי-רציונלים אחרים כמו שורש 3 או פאי. שני השדות לא מכילים הגדרה של פעולה כמו חיסור או חילוק." מה זה הרחבה פשוטה ולמה היא ממד 2...

האם ניתן לחשוב על דוגמה פשוטה יותר (אולי שדה סופי)?האזרח דרור - שיחה 12:17, 19 בדצמבר 2016 (IST)

אם תנסה לפרוש טענה מתמטית למושגים אלמנטריים תקבל ניסוח אקספוננציאלי מפותל ובלתי ניתן לפענוח. כדי להסביר מהי "הרחבה פשוטה מממד 2" צריך לדעת ש:

הרחבה = זוג סדור של שדות.

זוג סדור = ...

שדה = מערכת אלגברית הכוללת קבוצה, שתי פעולות ושני קבועים, המקיימת אקסיומות מסויימות.

מערכת אלגברית = ...

הרחבה פשוטה = הרחבה הנוצרת על-ידי איבר אחד

יוצרים של הרחבה = ...

ממד = גודלו של בסיס למרחב וקטורי

בסיס = קבוצה פורשת ובלתי תלויה

קבוצה פורשת = ...

קבוצה בלתי תלויה = ...

וכן הלאה. אינך לומד (או מסביר) שפה חדשה באמצעות שורה ממחזה שייקספירי. עוזי ו. - שיחה 18:10, 19 בדצמבר 2016 (IST)

צריך להיות איזון, שכן החלופה השניה היא שההסבר נהיר רק לקבוצה מצומצמת של "יודעי סוד". לטעמי גם המושגים האלמנטריים יותר כמו שדה - אינם מוסברים בצורה בהירה מספיק. יש הסבר פורמלי ויש הסבר על ידי מתן דוגמאות. האזרח דרור - שיחה 09:03, 21 בדצמבר 2016 (IST)

כוונותיך טובות, אבל היישום לא מסתדר. אני מסיר בשלב זה את הפסקה שכתבת על ההרחבה Q[sqrt{2}]/Q, משום שהיא לא קשורה להרחבה אלא לשדה Q[sqrt{2}] עצמו. אתה יכול להעביר אותה לערך [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה] (וגם שם היא תצטרך עריכה). עוזי ו. - שיחה 11:57, 21 בדצמבר 2016 (IST)