שיחה:מערכת אורתונורמלית שלמה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

המשפט:

ההכללה של מושג הבסיס למקרה האינסוף ממדי מכונה בסיס המל

אינו מדויק. ההגדרה של בסיס באלגברה לינארית היא: קבוצה שכל וקטור במרחב הוא צירוף סופי של איבריה. בהגדרה אין דרישה שהבסיס יהיה סופי. כלומר הבסיס הרגיל שמגדירים באלגברה לינארית הוא בסיס המל. המשך המשפט נכון - הוא באמת פחות שימושי במקרה האינסופי. אבל זוהי אינה הכללה. אגב, המושג שאני מכיר במקום בסיס אורתונורמלי הוא מערכת אורתונורמלית שלמה - האורתונורמליות מבטיחה אי-תלות, והשלמות מבטיחה שהמרחב הנפרש על-ידי הקבוצה (במונחים של בסיס המל) הוא אכן צפוף במרחב. האם כדאי לשנות את המינוח? בברכה, אבינעם 21:28, 25 אוגוסט 2005 (UTC)

גם אצלנו השתמשו במונח "מערכת שלמה" לתיאור קבוצת וקטור שפורשת קבוצה הצפופה במרחב. Flag of Israel.svg_MathKnight_Star of David.svg (שיחה) 22:14, 26 אוגוסט 2005 (UTC)
ניסיתי לכתוב מחדש את המשפט. חווה דעתך. במקור הכוונה שלי ב"הכללה" הייתה שאמנם אלו אותם מושגים, אבל יש להם הרבה יותר תוכן במרחבים אינסוף ממדיים, שבהם לא מתקיימת באופן טריוויאלי העובדה שאפשר לדבר רק על צירופים סופיים, אבל אני מסכים שזה שימוש בעייתי במילה "הכללה".
עכשיו, אם תקרא את שאר הערך תראה שהוא עוסק במה שאתה מכנה "מערכת אורתונורמלית שלמה", וגם משתמש בביטוי הזה. לדעתי מערכת אורתונורמלית שלמה צריך להיות דף הפניה לכאן. גדי אלכסנדרוביץ' 05:37, 27 אוגוסט 2005 (UTC)

גדי אלכסנדרוביץ' 05:37, 27 אוגוסט 2005 (UTC)

לגדי: התיקון בהחלט עונה על שאלתי. יתר הערך גם הוא סביר. הבעיה העיקרית שלי היא בשמו. בסיס אורתונורמלי הוא בסיס במובן האלגברי (בסיס המל) שהוא אורתונורמלי. הערך דן במערכת אורתונורמלית שלמה - ולכן זה צריך להיות שם הערך, לדעתי. אני אבקש גם את חוות דעתו של ידידנו עוזי ו. בברכה, אבינעם 19:49, 29 אוגוסט 2005 (UTC)
קצת טריוויה: במרחבים ממימד סופי, כל ההגדרות מתלכדות. במרחבים ממימד אינסופי, יש שלוש הכללות אפשריות למושג 'בסיס': 'קבוצה שכל איבר הוא צירוף ליניארי סופי שלה', 'קבוצה שכל איבר הוא צירוף ליניארי מתכנס שלה', ו'קבוצה שאוסף הצירופים הסופיים שלה צפוף במרחב'. מבין אלה, רק לראשון יש משמעות במרחב וקטורי כללי (למשל מעל שדה ממאפיין שאינו אפס). לשני האחרים יש משמעות במרחב וקטורי טופולוגי, בעיקר במרחבי בנך - ואז הם מתלכדים. אבל ברגע שיש טופולוגיה בעסק, המשמעות השניה (של 'בסיס טופולוגי') חשובה לאין ערוך, ובאנליזה פונקציונלית בכלל אין מדברים על בסיס אלגברי, במשמעות הראשונה. העסק קצת מסתבך במרחבי מכפלה פנימית, שהם לפי ההגדרה מרחבים מעל הממשיים ולכן נוטים להיות טופולוגיים ממילא.
לכן: ההגדרה הנכונה ל'בסיס' היא במשמעות הכללית ביותר, האלגברית. זוהי גם ההגדרה שאני מעדיף לבסיס אורתוגונלי. לבסיס במובן השני קוראים 'בסיס טופולוגי' (שכאמור הוא איננו בסיס), אבל בספרי אנליזה פונקציונלית משמיטים לפעמים את התואר; ממילא בסיסים אלגבריים הם חסרי משמעות בהקשר הזה. זו לא סיבה עבורנו לקרוא ל'בסיס טופולוגי' בסיס. במקרה של מרחבי מכפלה פנימית משתמשים לפעמים ב'בסיס אורתונורמלי', אבל בעצם הכוונה היא לבסיס טופולוגי שהוא גם קבוצה אורתונורמלית - וגם כאן אני מעדיף לאמץ מונח חד משמעי, כמו 'מערכת אורתוגונלית שלמה'.
סיכום: בסיס של מרחב וקטורי הוא קבוצה בלתי תלויה שכל איבר הוא צירוף ליניארי (סופי כמובן) של אבריו. במרחב מכפלה פנימית, בסיס אורתוגונלי הוא בסיס שאבריו מאונכים זה לזה. במרחב נורמי יש מטריקה, ולכן אפשר לדבר על קבוצות צפופות. בסיס של מרחב נורמי צריך להיות בסיס במובן הרגיל (של מרחבים וקטוריים). בסיס טופולוגי של מרחב נורמי הוא קבוצה שאוסף הצירופים הסופיים שלה - צפוף במרחב. אלו הבסיסים החשובים במרחבים נורמיים ובפרט במרחבי בנך. במרחב מכפלה פנימית (שהוא כמובן מרחב נורמי), מערכת אורתוגונלית שלמה היא בסיס טופולוגי שבנוסף לכך הוקטורים שלו מאונכים זה לזה ואורכם 1. זוהי גם ההגדרה שנשתמש בה במרחב הילברט (=מרחב מכפלה פנימית שלם).
כדאי לקשר לכאן משיחה: בסיס. עוזי ו. 21:01, 29 אוגוסט 2005 (UTC)

תודה לעוזי על התשובה המפורטת. מה דעת הציבור לגבי שמות הערכים? נראה לי שצריכים להיות 3 ערכים:

  1. בסיס (אלגברה) (זהה לבסיס המל)
  2. בסיס טופולוגי (או שם אחר?) בסיס אלגברי לקבוצה צפופה במרחב - שונה מבסיס (טופולוגיה)
  3. מערכת אורתונורמלית שלמה (הערך הנוכחי)

לגבי בסיס אורתונורמלי - צריך להיות דף פירושונים, אם הכוונה לבסיס אלגברי (בסיס המל) אורתונורמלי או למערכת אורתונורמלית שלמה. מה דעתכם? אבינעם 06:36, 1 ספטמבר 2005 (UTC)

שמות הערכים: אני חושב שזו החלוקה הנכונה. בסיס אורתונורמלי - לדעתי הערך צריך להיות על בסיס (במובן הרגיל) של מרחב מכפלה פנימית, שהוא גם אורתונורמלי. בסוף המבוא נספר לקורא שבמרחבים מממד אינסופי מערכות אורתונורמליות שלמות הן יותר חשובות (עם קישור). עוזי ו. 07:31, 1 ספטמבר 2005 (UTC)
אני מבין שמשום מה מחכים לי - אתם יותר מאשר מוזמנים לבצע את השינויים. גדי אלכסנדרוביץ' 20:35, 5 ספטמבר 2005 (UTC)

יצרתי את הערך מערכת אורתונורמלית שלמה שהוא למעשה הערך הנוכחי עם החלפה של המושג בסיס אורתונורמלי במערכת אורתונורמלית שלמה, ומעט תוספות. חוו דעתכם. לדעתי כדאי להעביר את תוכנו לערך הנוכחי, ולשנות את השם, כך תישמר הסטורית העריכות. בברכה, אבינעם 22:25, 26 אוקטובר 2005 (UTC)

הדרך הכי טובה לשמור את היסטורית העריכות היא דווקא למחוק את הדף שיצרת, לעשות "העבר" על הדף הנוכחי, ועל הגרסה שהועברה לבצע את שינוי השמות (ואני בעד הדבר הזה). גדי אלכסנדרוביץ' 05:35, 27 אוקטובר 2005 (UTC)
לגדי: עשיתי כדבריך - התיקון נמצא בערך הנוכחי, וביקשתי למחוק את "מערכת אורתונורמלית שלמה". בברכה, אבינעם 23:24, 27 אוקטובר 2005 (UTC)
לגדי: תודה. אבינעם 07:50, 28 אוקטובר 2005 (UTC)