מרחב נורמי

מרחב נורמי הוא מרחב וקטורי שעליו מוגדרת נורמה. הנורמה היא פונקציה המקבלת וקטור ומחזירה מספר ממשי, ומצייתת לשלוש אקסיומות: היא חיובית ומתאפסת רק באפס; היא הומוגנית; והיא מקיימת את אי-שוויון המשולש.

מרחב נורמי שהוא מרחב שלם מכונה "מרחב בנך". כל מרחב נורמי ניתן לשיכון צפוף בתוך מרחב בנך.

כל מרחב מכפלה פנימית הוא נורמי, על ידי הנורמה המושרית $\ \|\mathbf {v} \|={\sqrt {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}$ .

מרחב נורמי הוא בפרט מרחב מטרי, לפי המטריקה $d(\mathbf {x,y} )=\|\mathbf {x-y} \|$ . מכיוון שכך, מרחב נורמי הוא מרחב טופולוגי (עם הטופולוגיה הנוצרת על ידי הכדורים הפתוחים במטריקה).

שקילות של נורמות[עריכת קוד מקור | עריכה]

שתי נורמות על אותו מרחב הן שקולות אם קיימים קבועים ממשיים ואי-שליליים $c,C$ , כך שלכל $\mathbf {v} \in V$ מתקיים $c\|\mathbf {v} \|_{1}\leq \|\mathbf {v} \|_{2}\leq C\|\mathbf {v} \|_{1}$ . במקרה זה הנורמות משרות את אותה טופולוגיה.