מרחב נורמי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

מרחב נורמי הוא מרחב וקטורי שעליו מוגדרת נורמה. הנורמה היא פונקציה המקבלת וקטור ומחזירה מספר ממשי, והיא מהווה הכללה של מושג האורך או הגודל של וקטור.

מרחב נורמי שהוא מרחב שלם מכונה "מרחב בנך". כל מרחב נורמי ניתן לשיכון בתוך מרחב בנך מתאים לו, המכונה "מרחב השלמה".

כל מרחב מכפלה פנימית הוא בפרט גם מרחב נורמי, כאשר המכפלה פנימית משרה נורמה טבעית באופן הבא: \ \| \vec{V} \| = \sqrt{ \lang \vec{v} , \vec{v} \rang} . מרחב נורמי כזה נקרא "מרחב אוקלידי", שכן נורמה המושרית ממכפלה פנימית זו מגדירה את מושג האורך בגאומטריה אוקלידית.

מרחב נורמי הוא בפרט מרחב מטרי, כאשר הנורמה משרה מטריקה טבעית באופן הבא: \ d(x,y) = \| x - y \|. בפרט גם זהו מרחב טופולוגי טבעי (ביחס לבסיס הכדורים הפתוחים במטריקה).

מרחבים נורמיים בעלי ממד סופי[עריכת קוד מקור | עריכה]

ידוע כי במרחב נורמי V בעל ממד סופי כל הנורמות שקולות. כלומר לכל זוג נורמות \| \cdot \|_1 ,  \| \cdot \|_2 קיימים קבועים ממשיים ואי-שליליים c,C, כך שלכל \vec v \in V מתקיים c \cdot \| \vec v \|_1 \leq \| \vec v \|_2 \leq C \cdot \| \vec v \|_1.

כדי להראות זאת, מספיק להראות שכל הנורמות שקולות לנורמה האוקלידית: \| \vec v \| = \| (v_1,...,v_n) \| = \sqrt{\sum_{i=1}^n{\left| v_i \right|^2}}.

ניתן להראות כי השקילות של נורמה כלשהי \| \cdot \|^* לנורמה האוקלידית \| \cdot \| מתקבלת על ידי c \cdot \| \vec v \| \leq \| \vec v \|^* \leq C \cdot \| \vec v \| כאשר את הקבועים c,C ניתן לבחור באופן הבא:

  • קביעת C: קובעים למרחב V בסיס כלשהו \left\{ \rho_1,...,\rho_n \right\} , ומגדירים C \equiv \sqrt{\sum_{i=1}^n{\| \rho_i \|^2}} .
  • קביעת c: מגדירים אופרטור f(u) = \| \sum_{i=1}^n u_i \cdot \rho_i \| על מעגל היחידה (כלומר לכל וקטור u המקיים \| u \| = 1). מקומפקטיות מעגל היחידה ורציפות האופרטור f נובע שמתקבל מינימום עבור איזשהו u_{min}, ומגדירים c \equiv f(u_{min}).

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.