בסיס (טופולוגיה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בטופולוגיה, בסיס ותת-בסיס הן דרכים חסכוניות לתיאור המבנה של מרחב טופולוגי. מן הקבוצות בבסיס אפשר לבנות את הקבוצות הפתוחות בדרך של איחוד, ומן הקבוצות בתת-בסיס אפשר לבנות את הקבוצות הפתוחות בעזרת פעולות האיחוד והחיתוך.

הגדרות[עריכת קוד מקור | עריכה]

בסיס[עריכת קוד מקור | עריכה]

בסיס של מרחב טופולוגי \ ( X,\tau ) הוא אוסף \ B של קבוצות פתוחות, כך שכל קבוצה פתוחה מהווה איחוד של אברים מן הבסיס; במלים אחרות, \ \tau=\{\cup_{b \in I}b \mid I \subseteq B\}. מנקודת המבט של הנקודות במרחב, אפשר לתאר בסיס כאוסף B של קבוצות פתוחות, כך שלכל \ x\in X ולכל קבוצה פתוחה \ x\in U, קיימת קבוצה \ b\in B בבסיס, כך ש- \ x\in b\subseteq U.

ניתן לאפיין בסיס בצורה שקולה: אוסף B של קבוצות במרחב X הוא בסיס (לטופולוגיה כלשהי) אם ורק אם X מכוסה על ידי האוסף, ולכל שתי קבוצות \ b_1,b_2 \in B ונקודה בחיתוך \ x\in b_1 \cap b_2, קיימת קבוצה \ b_3 \in B בבסיס, כך ש- \ x \in b_3 \subset b_1 \cap b_2. כאמור, הגדרה זו גוררת את ההגדרה הראשונה, ולהפך. יתרונה של הגדרה זו היא שקל לבדוק שהיא אכן מתקיימת לאוסף נתון של קבוצות. לדוגמה, קל לראות כי אוסף הקטעים הפתוחים עם נקודות קצה רציונליות מהווה בסיס לטופולוגיה הסטנדרטית על הישר הממשי.

בסיס נקרא לפעמים גם מערכת סביבות יסודית.

תת-בסיס[עריכת קוד מקור | עריכה]

תת-בסיס של מרחב טופולוגי \ ( X,\tau ) הוא אוסף \ S של קבוצות פתוחות, כך שאוסף החיתוכים הסופיים של קבוצות מ- S הוא בסיס. כל אוסף המכסה את המרחב הוא תת-בסיס לאיזושהי טופולוגיה; במקרה כזה, הקבוצות הפתוחות בטופולוגיה הן איחודים של חיתוכים סופיים של קבוצות מ- S.

בסיס מקומי[עריכת קוד מקור | עריכה]

בסיס מקומי: אוסף B של קבוצות פתוחות במרחב טופולוגי הוא "בסיס מקומי" סביב הנקודה x, אם כל קבוצה פתוחה המכילה את x מכילה איבר של B המכיל את x.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]