תנאי הלדר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
(הופנה מהדף תנאי הולדר)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

תנאי הלדר (Hölder condition) הוא תנאי על פונקציות רציפות, המאפיין את מידת הרציפות שלהן. תנאי זה מרחיב את תנאי ליפשיץ. קרוי על-שם המתמטיקאי הגרמני אוטו הלדר.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקציה f: U \to \mathbb{R} עבור תחום פתוח U \subset \mathbb{R} מקיימת את תנאי הלדר ביחס לזוג קבועים K > 0, \alpha \geq 0, אם לכל \ x,y \in U מתקיים \ |f(x)-f(y)|\le K \cdot |x-y|^\alpha.

באופן כללי יותר, עבור זוג מרחבים מטריים \left(X,d_X\right), \left(Y,d_Y\right), פונקציה f: X \to Y מקיימת את תנאי הלדר ביחס לזוג קבועים K > 0, \alpha \geq 0, אם לכל \ x,y \in X מתקיים d_Y\left(f(x),f(y)\right) \leq K \cdot d_X\left(x,y\right)^\alpha.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • אם פונקציה מקיימת את תנאי הלדר ביחס לקבוע \alpha > 0, אז היא רציפה באותו תחום.
  • אם פונקציה מקיימת את תנאי הלדר ביחס לקבוע \alpha = 0, משמע היא חסומה.
  • מהקמירות של הפונקציה \ t^\alpha, עבור כל \alpha > 1, נובע שאם פונקציה ממרחב נורמי כלשהו מקיימת את תנאי הלדר עבור \alpha > 1 היא בהכרח קבועה. הטענה אינה נכונה כאשר \,X מרחב מטרי כלשהו.
  • תנאי הלדר עם קבוע \,\alpha=1 נקרא תנאי ליפשיץ.

אנליזה פונקציונלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

אוסף הפונקציות המקיימות את תנאי הלדר עבור מעריך מסוים \alpha מעל קבוצה פתוחה \Omega במרחב האוקלידי מהווה מרחב וקטורי ומסומן \ C^{0,\alpha} (\Omega ). אוסף הפונקציות שהנגזרת ה-n-ית שלהן מקיימות את תנאי ליפשיץ באותו התחום מסומן: \ C^{n,\alpha} (\Omega ), וגם הוא מרחב וקטורי.

על המרחבים האלו מוגדרת סמי-נורמה טבעית (כאשר ב- \ C^{n,\alpha} (\Omega ) ההגדרה יותר מורכבת וכוללת גם את הנגזרות):

 \| f \|_{C^{0,\alpha}} = \sup_{x,y \in \Omega} \frac{| f(x) - f(y) |}{|x-y|^\alpha}