משפטי סילו

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
(הופנה מהדף תת-חבורת סילו)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משפטי סילו הם משפטים בתורת החבורות, העוסקים בתת-חבורות-p של חבורה סופית. הטענה המרכזית במשפטים אלה היא שאם היא החזקה המרבית של p ראשוני המחלקת את הגודל של חבורה G, אז יש ל-G תת-חבורה מסדר . חבורות מסדר כזה נקראות חבורות p, ויש להן מבנה מיוחד מאד (למשל, הן נילפוטנטיות). משפטי סילו מאפשרים לחקור חבורות סופיות באמצעות תת-חבורות כאלה והפעולה שלה עליהן, ומכאן המעמד היסודי שלהן בתורת החבורות.

את המשפטים הוכיח המתמטיקאי הנורווגי לודוויג סילו בשנת 1872, והם מכלילים את משפט קושי שנוגע למקרה .

במובן מסוים, משפטי סילו הפוכים למשפט לגראנז'. לפי משפט לגראנז', הסדר של תת-חבורה H של G חייב לחלק את הסדר של G. משפטי סילו מראים שאם נתון מחלק q של הסדר של G שהוא חזקת ראשוני, אז אפשר למצוא תת-חבורה מסדר q. משפטי סילו קובעים גם שכל החבורות שסדרן הוא חזקת-p מקסימלית, צמודות זו לזו.

הגדרות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם הוא מספר ראשוני המחלק את הסדר של החבורה הסופית , אז קיימת חזקה מקסימלית של p המחלקת את הסדר. כלומר מחלק, אבל לא. לתת-חבורה של G שסדרה שווה ל- קוראים חבורת p-סילו של G. הגדרה שימושית אחרת לאותו מושג: חבורת p-סילו היא תת-חבורה של G שהיא חבורת-p, בעלת אינדקס זר ל-p.

לדוגמה, אם אז תת-חבורה מסדר 3 היא חבורת 3-סילו של , ותת-חבורה מסדר 8 הינה חבורת 2-סילו של .

ניסוח המשפטים[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח ש-G חבורה סופית וש- היא חזקה מקסימלית של ראשוני p המחלקת את הסדר של G. נסמן ב- את מספרן של חבורות p-סילו השונות של G. נציין מיד שאם P חבורת סילו, אז תת-החבורות הצמודות לה גם הן חבורות p-סילו.

משפט סילו הראשון[עריכת קוד מקור | עריכה]

לכל חבורה קיימת חבורת p-סילו. (דהיינו ).

הכללה של משפט זה קובעת שלכל חזקת p המחלקת את הסדר של G, לאו דווקא החזקה המקסימלית, קיימת תת-חבורה בגודל זה.

משפט סילו השני[עריכת קוד מקור | עריכה]

כל חבורות p-סילו של צמודות זו לזו. יתרה מזו, כל תת-חבורה של שהיא חבורת p, היא מוכלת באיזושהי חבורת p-סילו של .

מסקנה

חבורת p-סילו היא יחידה (כלומר ) אם ורק אם היא תת חבורה נורמלית של G.

הוכחה: נניח כי P חבורת p-סילו. מתקיים כי P היא חבורת p-סילו יחידה אמ"מ כל התת-חבורות הצמודות של P שוות לה אמ"מ P נורמלית.

מסקנה

מחלק את הסדר של . אם נסמן , נובע מכך ש- מחלק את , שכן לא מחלק את p, כפי שנובע ממשפט סילו השלישי.

הוכחה: דרך אחת היא לשים לב שמספר תת-החבורות הצמודות לתת-חבורה של שווה לאינדקס של הנורמליזטור של ב-, שהוא תת-חבורה המכילה את . אבל הנורמליזטור מכיל את , לכן האינדקס שלו מחלק את זה של , וממילא הוא זר ל-.

דרך נוספת להסיק זאת היא מכך ש-G פועלת על קבוצת חבורות p-סילו שלה באמצעות הצמדה. כפי שנובע ממשפט סילו השני המסלול של חבורת p-סילו כלשהי P בפעולה זו הוא כל הקבוצה, ולכן גודלו של מסלול זה הוא . כפי שנובע ממשפט מסלול מייצב, גודל מסלול מחלק את גודל החבורה הפועלת ולכן מחלק את גודל G.

משפט סילו השלישי[עריכת קוד מקור | עריכה]

מספרן של חבורות p-סילו של שקול לאחת מודולו p. כלומר

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נראה שלכל חבורה G מסדר 105 מוכרחה להיות תת-חבורה נורמלית. , ולכן יש לחבורה תת-חבורות מסדר 3, 5 ו- 7. מספרן של החבורות מסדר 3 שקול ל-1 מודולו 3 ומחלק את 35 - ולכן הוא 1 או 7. באופן דומה מספרן של החבורות מסדר 5 הוא 1 או 21, ושל אלו מסדר 7 הוא 1 או 15. אם אחת מחבורות אלו היא יחידה מסדרה, אז היא נורמלית. נניח שאין כזו, אז יש 7 חבורות מסדר 3, שכולן ציקליות כמובן. חבורות מסדר ראשוני מוכרחות להיחתך זו עם זו באופן טריוויאלי, ולכן יש בהן איברים מסדר 3. באופן דומה יש 84 איברים מסדר 5 ו- 90 מסדר 7. ביחד יותר מ-105, וזה בלתי אפשרי.

הוכחות[עריכת קוד מקור | עריכה]

למשפטי סילו יש הוכחות רבות, למשל באינדוקציה על הסדר של G. ההוכחה שנציג כאן מבוססת על הפעולה של G על קבוצות מסוימות, והיא מיוחסת לנתן ג'ייקובסון.

הוכחת המשפט הראשון. נסמן ב- X את אוסף כל תת-הקבוצות בגודל של G. מכיוון ש- , קל לחשב ש- p אינו מחלק את העוצמה של X. החבורה פועלת על X על ידי כפל משמאל: .

מכיוון שהגודל של X אינו מתחלק ב- p, מוכרח להיות מסלול תחת הפעולה של G, שגודלו אינו מתחלק ב- p. תהי נקודה באותו מסלול; נבחר , אז גם היא נקודה באותו המסלול, והיא מכילה את איבר היחידה של G. לכן אפשר להניח ש- . מצד אחד, המייצב של B מוכל ב- B (שהרי ), ולכן גודלו לכל היותר. מצד שני, האינדקס של המייצב מחלק את , אבל הוא שווה לגודל המסלול, ולכן זר ל- p ומחלק את . יחד נובע מכאן שגודל המייצב שווה בדיוק ל- , ואם כך הוא שווה ל- B; אבל אז B היא חבורת p-סילו.

כעת נסמן ב- S את אוסף חבורות p-סילו של G; המשפט הראשון טוען ש- S אינה ריקה. החבורה G פועלת על S לפי הצמדה.

טענה. אם תת-קבוצה T של S סגורה תחת הפעולה, אז גודלה שקול ל-1 מודולו p. הוכחה. ברור שכל חבורת p-סילו היא תת-חבורת-p מקסימלית. לכן, אם P,Q שתיהן חבורות p-סילו, אז PQ אינה תת-חבורה של G (אחרת סדרה היה שווה ל- , וזו חזקת-p גדולה מדי). מכאן יוצא ש- Q אינה יכולה לנרמל את P (אחרת היא תת-חבורה).

כעת תהי P חבורת p-סילו; בתור תת-חבורה של G, גם P פועלת על S בהצמדה, ולכן היא פועלת גם על T. גדלי המסלולים תחת הפעולה הזו מחלקים כמובן את הגודל של P, ולכן הם כולם חזקות של p. יש שני סוגים של מסלולים: אלה שגודלם 1, ואלה שגודלם מתחלק ב- p. אם Q היא נקודה יחידה במסלול, אז P מנרמלת את Q, וזה בלתי אפשרי - אלא אם Q=P. כלומר, יש רק מסלול אחד שגודלו 1, והוא המסלול המכיל את P בלבד. גדלי שאר המסלולים מתחלקים ב- p, ולכן סכום הגדלים של כל המסלולים (שהוא כמובן הגודל של T) שקול ל-1 מודולו p.

הוכחת המשפט השלישי. מספיק לבחור T=S בטענה.

הוכחת המשפט השני. לפי הטענה, הגודל של כל מסלול שקול ל-1 מודולו p. אבל כך גם עבור האיחוד של שני מסלולים, אילו היו כאלה, וזה כמובן בלתי אפשרי. מכאן שיש בפעולה רק מסלול אחד, ובמלים אחרות זוהי פעולה טרנזיטיבית.