תת-מרחב שמור

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באלגברה לינארית תת-מרחב שמור של העתקה לינארית T, הוא תת-מרחב וקטורי שהעתקה T שולחת את הווקטורים שלו בחזרה לעצמו. תת-מרחב כזה נקרא גם "תת-מרחב T אינווריאנטי".

אם W תת-מרחב שמור של T אז ניתן לצמצם את T לW ולקבל:  {T|}_W \colon W \to W

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי  W תת-מרחב ב- V ותהי : T:V \to V העתקה לינארית. נאמר ש  W תת-מרחב שמור T של  V אם \ T(W) \subseteq W.

תהי  A מטריצה ריבועית מסדר n מעל שדה \ \mathbb {F} נאמר ש W תת-מרחב שמור A של \ \mathbb {F}^n אם לכל \ w \in W מתקיים  Aw \in W

דוגמה פשוטה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נגדיר העתקה לינארית באופן הבא: T(x,y,z)=(x+2y+z,3x+4y-z,5z) אזי תת-המרחב W:=span\{(1,0,0),(0,1,0)\} הוא תת-מרחב שמור T, וניתן לכתוב את ההעתקה המצומצמת של T עליו באופן הבא: {T|}_W(x,y)=(x+2y,3x+4y,0)

דוגמאות נוספות[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי V מרחב וקטורי וT:V \to V העתקה לינארית, אזי:

  1. V עצמו ותת-מרחב האפס תתי-מרחב שמורי T.
  2. אם \lambda ערך עצמי של T, אזי המרחב העצמי של \lambda הוא שמור T
  3. ImT וגם KerT תתי-מרחב שמורי T

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

משפט הפירוק היסודי (פרימרי)[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי  V מרחב וקטורי בעל מימד סופי,  T:V \to V העתקה לינארית ו p הפולינום המינימלי של T, נוכל להציג את  p כמכפלה של גורמים אי פריקים  \prod_{i=1}^{n} p_{i}^{r_i} .

אזי V = Ker ~{p_1}^{r_1} \oplus \cdots  \oplus Ker~{p_n}^{r_n} פירוק ישר של V לתתי-מרחב שמורי T.

בנוסף אם T לכסינה, אזי הפירוק הוא לתתי-מרחב עצמיים של T.

פעולות על המרחב[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי  U,W תתי-מרחב שמורי T של  V , אזי:

  • U\cap W תת-מרחב שמור T.
  • U \oplus W תת-מרחב שמור T.
  • אם  W מרחב עצמי של T, אזי כל תת-מרחב של  W , הוא תת-מרחב שמור T.

תת-מרחב ציקלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי v \in V וקטור במרחב וקטורי כלשהו וT:V \to V העתקה לינארית. אזי קיים k, כך ש B=\{v, Tv, T^2v,..., T^{k-1}v\} קבוצה של וקטורים בלתי תלויים.

תת-המרחב W אשר B הוא בסיס שלו נקרא תת-מרחב ציקלי של V ביחס ל-T ול-v, והוא תת-מרחב שמור הT הקטן ביותר המכיל את v.

הטלות[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – הטלה (מתמטיקה)

יהי V מרחב וקטורי מימד n המחולק לסכום ישר של k≤n תתי-מרחב, לכל תת-מרחב W_i נצמיד הטלה E_i, אזי W_i הם שמורי T אם ורק אם TE_i=E_iT לכל i.