תת-מרחב שמור

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באלגברה לינארית תת-מרחב שמור של העתקה לינארית T, הוא תת-מרחב וקטורי שהעתקה T שולחת את הווקטורים שלו בחזרה לעצמו. תת-מרחב כזה נקרא גם "תת-מרחב T אינווריאנטי".

אם W תת-מרחב שמור של T אז ניתן לצמצם את T לW ולקבל:

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי תת-מרחב ב- ותהי : העתקה לינארית. נאמר ש תת-מרחב שמור T של אם .

תהי מטריצה ריבועית מסדר n מעל שדה נאמר ש תת-מרחב שמור A של אם לכל מתקיים

דוגמה פשוטה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נגדיר העתקה לינארית באופן הבא: אזי תת-המרחב הוא תת-מרחב שמור T, וניתן לכתוב את ההעתקה המצומצמת של T עליו באופן הבא:

דוגמאות נוספות[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי מרחב וקטורי ו העתקה לינארית, אזי:

  1. עצמו ותת-מרחב האפס תתי-מרחב שמורי T.
  2. אם ערך עצמי של T, אזי המרחב העצמי של הוא שמור T
  3. וגם תתי-מרחב שמורי T

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

משפט הפירוק היסודי (פרימרי)[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי מרחב וקטורי בעל מימד סופי, העתקה לינארית ו הפולינום המינימלי של T, נוכל להציג את כמכפלה של גורמים אי פריקים .

אזי פירוק ישר של לתתי-מרחב שמורי T.

בנוסף אם T לכסינה, אזי הפירוק הוא לתתי-מרחב עצמיים של T.

פעולות על המרחב[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי תתי-מרחב שמורי T של , אזי:

  • תת-מרחב שמור T.
  • תת-מרחב שמור T.
  • אם מרחב עצמי של T, אזי כל תת-מרחב של , הוא תת-מרחב שמור T.

תת-מרחב ציקלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי וקטור במרחב וקטורי כלשהו ו העתקה לינארית. אזי קיים , כך ש קבוצה של וקטורים בלתי תלויים.

תת-המרחב אשר הוא בסיס שלו נקרא תת-מרחב ציקלי של V ביחס ל-T ול-v, והוא תת-מרחב שמור הT הקטן ביותר המכיל את .

הטלות[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – הטלה (מתמטיקה)

יהי מרחב וקטורי מימד n המחולק לסכום ישר של k≤n תתי-מרחב, לכל תת-מרחב נצמיד הטלה , אזי הם שמורי T אם ורק אם לכל i.