הטלה (מתמטיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

הטלה (באנגלית projection) באלגברה ליניארית היא העתקה ליניארית המפרקת וקטור לרכיביו ומחזירה רק את הרכיבים שלו שנמצאים בתת-מרחב ליניארי מסוים.

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נסתכל בווקטור ב- אותו אפשר לרשום בצורה

הטלתו של הווקטור על תת-המרחב הנפרש על ידי הווקטור תחזיר . הפעלה נוספת של ההטלה לא תשנה את הווקטור שהתקבל: .

אם נרצה להטיל את v על תת-המרחב הנפרש בידי ציר ה-y וציר ה-z נקבל . הטלת הווקטור שהתקבל על ציר x תחזיר 0 שכן אין לו רכיב על ציר x.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי מרחב וקטורי ותהי העתקה ליניארית. תיקרא הטלה על תת-מרחב של , אם . איבר באלגברה של ההעתקות הליניאריות מ-V לעצמו, המקיים נקרא איבר אידמפוטנטי (Idempotent).

באופן שקול, אם נחלק את V לסכום ישר של תת-מרחבים, , אזי לכל וקטור קיימים ו- כך שמתקיים . נאמר שההעתקה הליניארית היא הטלה על אם היא מקיימת .

ההגדרה תואמת את המשמעות האינטואיטיבית: הפעלת הטלה בפעם הראשונה מעבירה את כל המרחב לתת-מרחב, והפעלתה בפעם השנייה שומרת את התת-מרחב כפי שהוא ולא משנה דבר.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי מרחב וקטורי עם הטלות על התת-המרחבים בהתאמה אזי לכל מתקיים:

  1. לכל
  2. ניתנת ללכסון, והערכים העצמיים שלה הם 1 ו-0.
  3. תהי העתקה ליניארית, אזי התת-מרחבים הם תתי-מרחב T-שמורים אם ורק אם (בהתאמה לתת-המרחב)

שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בטורי פורייה מחשבים את מקדמי פורייה באמצעות הטלה אורתוגונלית של הפונקציה על איברי מערכת אורתונורמלית שלמה (במקרה הקלאסי של טור פורייה הטריגונומטרי: על סינוסים וקוסינוסים).

בתורת הקוונטים, פעולת מדידה מתוארת בעזרת אופרטורי הטלה.

P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.