מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
הטלה (באנגלית projection) באלגברה ליניארית היא העתקה ליניארית המפרקת וקטור לרכיביו ומחזירה רק את הרכיבים שלו שנמצאים בתת-מרחב ליניארי מסוים.
נסתכל בווקטור ב-
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
v
=
(
v
x
,
v
y
,
v
z
)
=
v
x
x
^
+
v
y
y
^
+
v
z
z
^
{\displaystyle v=(v_{x},v_{y},v_{z})=v_{x}{\hat {x}}+v_{y}{\hat {y}}+v_{z}{\hat {z}}}
הטלתו של הווקטור על תת-המרחב הנפרש על ידי הווקטור
x
^
{\displaystyle {\hat {x}}}
תחזיר
P
x
v
=
v
x
x
^
{\displaystyle P_{x}v=v_{x}{\hat {x}}}
. הפעלה נוספת של ההטלה לא תשנה את הווקטור שהתקבל:
P
x
2
v
=
P
x
(
v
x
x
^
)
=
v
x
x
^
{\displaystyle P_{x}^{2}v=P_{x}(v_{x}{\hat {x}})=v_{x}{\hat {x}}}
.
אם נרצה להטיל את v על תת-המרחב הנפרש בידי ציר ה-y וציר ה-z נקבל
P
y
z
v
=
v
y
y
^
+
v
z
z
^
{\displaystyle P_{yz}v=v_{y}{\hat {y}}+v_{z}{\hat {z}}}
יהי
V
{\displaystyle V}
מרחב וקטורי
ותהי
P
:
V
→
V
{\displaystyle P:V\rightarrow V}
P
{\displaystyle P}
הטלה על תת-מרחב של
V
{\displaystyle V}
P
2
=
P
{\displaystyle P^{2}=P}
P
2
=
P
{\displaystyle P^{2}=P}
איבר אידמפוטנטי (Idempotent).
באופן שקול, אם נחלק את V לסכום ישר של תת-מרחבים,
V
=
U
⊕
W
{\displaystyle V=U\oplus W}
v
∈
V
{\displaystyle v\in V}
u
∈
U
{\displaystyle u\in U}
w
∈
W
{\displaystyle w\in W}
v
=
u
+
w
{\displaystyle v=u+w}
E
:
V
→
V
{\displaystyle E:V\to V}
W
{\displaystyle W}
E
(
v
)
=
w
{\displaystyle E(v)=w}
ההגדרה תואמת את המשמעות האינטואיטיבית: הפעלת הטלה בפעם הראשונה מעבירה את כל המרחב לתת-מרחב, והפעלתה בפעם השנייה שומרת את התת-מרחב כפי שהוא ולא משנה דבר.
יהי
V
{\displaystyle V}
E
1
,
E
2
,
…
,
E
k
{\displaystyle E_{1},E_{2},\dots ,E_{k}}
W
1
,
W
2
,
…
,
W
k
{\displaystyle W_{1},W_{2},\dots ,W_{k}}
1
≤
i
≤
k
{\displaystyle 1\leq i\leq k}
E
i
2
=
E
i
{\displaystyle E_{i}^{2}=E_{i}}
E
i
E
j
=
0
{\displaystyle E_{i}E_{j}=0}
i
≠
j
{\displaystyle i\neq j}
Im
E
i
=
W
i
{\displaystyle \operatorname {Im} E_{i}=W_{i}}
V
=
Ker
E
i
⊕
Im
E
i
{\displaystyle V=\operatorname {Ker} E_{i}\oplus \operatorname {Im} E_{i}}
E
i
{\displaystyle E_{i}}
לכסון , והערכים העצמיים שלה הם 1 ו-0.תהי
T
:
V
→
V
{\displaystyle T:V\to V}
W
i
{\displaystyle W_{i}}
T
E
i
=
E
i
T
{\displaystyle TE_{i}=E_{i}T}
בטורי פורייה מחשבים את מקדמי פורייה באמצעות הטלה אורתוגונלית של הפונקציה על איברי מערכת אורתונורמלית שלמה (במקרה הקלאסי של טור פורייה הטריגונומטרי: על סינוסים וקוסינוסים).
בתורת הקוונטים , פעולת מדידה מתוארת בעזרת אופרטורי הטלה.
