מרחב וקטורי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
(הופנה מהדף תת-מרחב)

באלגברה ליניארית, מרחב וקטורי (קרוי גם מרחב ליניארי) הוא מערכת מתמטית מעל שדה, שאבריה, וקטורים, סגורים לחיבור ולכפל בסקלר. וקטור מסומן באחת מהאפשרויות הבאות: .

בהנחת אקסיומת הבחירה, לכל מרחב וקטורי יש בסיס. כל הבסיסים של אותו מרחב וקטורי הם בעלי אותו גודל, שהוא הממד של המרחב. הממד הוא המאפיין היחיד של מרחב וקטורי: כל שני מרחבים בעלי אותו ממד הם איזומורפיים זה לזה.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

חבורה אבלית ביחס לחיבור, היא מרחב וקטורי מעל השדה , אם מוגדרת פעולת כפל סקלרי , שמסמנים ב-, כך שמתקיימות האקסיומות

  1. לכל ב- מתקיים .
  2. קיבוציות כפל סקלרים בווקטור (חוק הקיבּוץ): לכל ולכל , מתקיים:
  3. פילוגיות סקלרים (חוק הפילוג לסקלרים): לכל ולכל , מתקיים:
  4. פילוגיות וקטורים: לכל וכל מתקיים:

דרישת החילופיות של החיבור ב- נובעת משאר האקסיומות (כפי שניתן לראות אם מפתחים את הביטוי , פעם אחת לפי קיבוציות של סקלרים, ופעם שנייה לפי קיבוציות של וקטורים). ובכל זאת נהוג לציינה לשם הנוחות.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • אוסף הפתרונות למערכת משוואות הומוגנית הוא מרחב וקטורי.
  • המרחב של -יות המורכבות מאיברים בשדה כלשהו, כאשר החיבור הוא לפי קואורדינטות (חיבור איבר-איבר) וכך גם הכפל בסקלר. בפרט: ו-. האיבר הנייטרלי לחיבור הוא .
  • מרחב הפונקציות הממשיות מעל שדה הממשיים.
    • מרחב הפולינומים מעל שדה . תת-המרחבים של מרחב זה המכילים פולינומים ממעלה n ומטה.
  • מרחב המטריצות הממשיות (או המרוכבות) בגודל נתון מעל שדה הממשיים (או המרוכבים).
  • מרחב כל ההעתקות הליניאריות מעל מרחב וקטורי נתון.
  • אוסף כל תת-הקבוצות של קבוצה כלשהי הוא מרחב וקטורי מעל השדה , כאשר פעולת החיבור היא פעולת ההפרש הסימטרי.

מונחים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • פרוש (Span) של קבוצת ווקטורים הוא קבוצת כל הצירופים הליניאריים של הווקטורים בקבוצה. קבוצת וקטורים פורשת את המרחב אם המרחב שווה לפרוש שלה.
  • בסיס של מרחב וקטורי הוא קבוצה בלתי תלויה של וקטורים שפורשת אותו.
  • ממד המרחב הוא מספר הווקטורים בבסיס. מכיוון שמספר זה איננו תלוי בבחירת הבסיס (כלומר שווה בכל הבסיסים במרחב), המושג מוגדר היטב. ממד יכול להיות סופי או אינסופי.

תת-מרחב וקטורי[עריכת קוד מקור | עריכה]

תת-מרחב של מרחב וקטורי כלשהו הוא תת-קבוצה שלו שמהווה בעצמה מרחב וקטורי. תת-מרחב חייב להיות מעל אותו שדה של המרחב הווקטורי והפעולות בו חייבות להיות אותן פעולות של המרחב הווקטורי. כדי לבדוק שתת-קבוצה של המרחב הווקטורי מעל השדה מהווה מרחב וקטורי, די לבדוק את הפרטים הבאים:

  1. אינה ריקה (מספיק לדעת ש-).
  2. סגורה ביחס לחיבור. כלומר - לכל מתקיים .
  3. סגורה ביחס לכפל בסקלר. כלומר - לכל ו- מתקיים .

יריעת גרסמן מקודדת את כל תת-המרחבים מממד נתון של .

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]