אינסוף (סימן)

סימן האינסוף (∞) הוא סימון מתמטי המייצג את מושג האינסוף. הסימן מכונה לעיתים גם "שמונה שוכב"^[1] או "למניסקטה", על שם עקומת הלמניסקטה המשמשת בגאומטריה אלגברית,^[2] שצורתה דומה לצורת הסימן.^[3]

הראשון להשתמש בסימון היה ג'ון ואליס במאה ה-17, על אף שלפני כן שימש למטרות אחרות. במתמטיקה, הסימן מתייחס לעיתים קרובות לתהליכים אינסופיים ולאו דווקא לערכים אינסופיים. הסימן משמש פעמים רבות גם בתחום העיצוב הגרפי, בין היתר בסמלילים של חברות.

ביוניקוד, הקידוד שניתן לתו אינסוף הוא U+221E.^[4]

היסטוריה

סימן האינסוף שימש כמוטיב דקורטיבי כבר בעת העתיקה. בין היתר, ניתן למצוא אותו על מסרקים מהתקופה הוויקינגית.^[5]

השימוש המוקדם ביותר בסימן האינסוף במשמעותו המתמטית מיוחס למתמטיקאי האנגלי ג'ון ואליס, בשנת 1655, בחיבורו De sectionibus conicis.^[6]^[7]^[8] ואליס לא הסביר את בחירתו בסמל זה. ההשערה הרווחת היא שמדובר בווריאציה על ספרה רומית כלשהי, ככל הנראה על הספרה ששימשה לכתיבת המספר 100 מיליון - סימן שדומה לאינסוף המוקף במסגרת מלבנית.^[9] תאוריה נוספת מעלה את האפשרות שהוא התבסס על הסימון CIↃ ששימש לייצוג המספר 1,000.^[10] הצעה נוספת היא שהסמל נגזר כווריאציה של האות אומגה ω שהיא האות האחרונה באלפבית היווני.^[10]

במקרים מסוימים, בשל מגבלות טיפוגרפיות, שימשו סמלים אחרים הדומים לסימן האינסוף באותה המשמעות.^[11] לאונרד אוילר השתמש בצורה פתוחה הדומה יותר ל-S שוכבת מאשר לסימן האינסוף.^[12]^[א] במקרים מסוימים השתמשו גם בסימן "O–O" כסמל לאינסוף.^[11]

שימושים

במתמטיקה

במתמטיקה, סמל האינסוף משמש בדרך כלל לייצוג אינסוף פוטנציאלי, ונפוץ בביטויים מתמטיים הכוללים גבול, סכום אינסופי או אינטגרל, כפי שמוצג בשוויון הבא בין הסכום האינסופי של הסדרה ${\frac {1}{2^{n}}}$ לבין הגבול של הפונקציה $f(x)={\frac {2^{x}-1}{2^{x-1}}}$ באינסוף, ששווים ל-2:

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {2^{x}-1}{2^{x-1}}}=2$

ברוב המקרים, המשמעות המתמטית של סימן האינסוף היא ציון משתנה שממשיך לגדול כך שערכו שואף לאינסוף, ולאו דווקא ציון ערך אינסופי.^[13]

כאשר מתעסקים בפועל עם גדלים של אינסוף ועם ערכים אינסופיים, משתמשים לרוב בסימונים אחרים כדוגמת $\aleph _{0}$ (אלף אפס), שהוא המספר הקרדינלי המציין את גודל קבוצת המספרים הטבעיים,^[14] ו-ω (אומגה) המציין את המספר הסודר הטרנספיניטי הקטן ביותר.^[15]

בספרות ובתרבות

בעבודותיו של ולדימיר נבוקוב, צורת הספרה שמונה משמשת באופן סימבולי להתייחסות לטבעת מביוס ולאינסוף, כפי שבא לידי ביטוי בתיאור הצורה של עקבות צמיגי האופניים, וקווי המתאר של אנשים שזכורים באופן חלקי. שירו של נבוקוב "אש חיוורת" מתייחס במפורש ל"נס הלמניסקטה".^[17] גם סופרים אחרים השתמשו בסימן האינסוף במשמעותו הסימבולית, כדוגמת ג'יימס ג'ויס ביוליסס,^[18] ודייוויד פוסטר וולאס במהתלה אינסופית.^[19]

במיסטיקה המודרנית, סמל האינסוף הפך למזוהה עם וריאציה של האורובורוס, תמונה עתיקה של נחש שאוכל את זנבו, שמסמל את האינסוף. לעיתים מצויר האורובורוס בצורת סמל האינסוף כדי לשקף זאת, ולא בצורת העיגול המסורתי.^[20]

שימושים טכניים

בתחומים אחרים, סמל האינסוף עשוי לקבל משמעויות אחרות הקשורות למושג האינסוף. בעבר הדפיסו את הסמל על כריכות ספרים כדי לציין שהספר הודפס על נייר נטול חומצה (אנ'), ולכן יחזיק לזמן ממושך.^[21] בעדשות של מצלמות, סמל האינסוף מציין שהעדשה ממוקדת למרחק אינסופי (אנ'), והסמל הוא ככל הנראה אחד מהסמלים העתיקים ביותר בשימוש במצלמות.^[22]

בעיצוב גרפי

הצורה של סימן האינסוף והמשמעות שלו, הפכו אותו לאלמנט טיפוגרפי נפוץ בעיצוב גרפי. לדוגמה, דגל מטיס המייצג את המסטיסים הקנדיים מאז תחילת המאה ה-19, מבוסס על הסמל.^[23] לאורך ההיסטוריה הועלו תיאוריות שונות למשמעות סמל האינסוף המופיע על הדגל, וביניהן התקווה לעתיד אינסופי בעבור תרבות המטיס, ושילוב מסורת אירופאית עם מסורת של האומות הראשונות.^[24]^[25]

סמל אינסוף בצבעי קשת משמש גם כסמל המגוון הנוירולוגי, וכנגזרת שלו משמש סמל האינסוף המוזהב כסמל האוטיזם. סימן האינסוף מסמל את השונות ואת המגוון האינסופיים של הקוגניציה האנושית.^[26] בנוסף, נעשה שימוש בסמל של לב משולב עם אינסוף כסמל הפוליאמוריה.^[27]

חברת הבקליט השתמשה בסמל האינסוף כחלק מהסמליל שלה, כדי לסמל את המגוון הרחב של היישומים האפשריים של הבקליט.^[28] גרסאות שונות של הסמל משמשים כחלק מסימנים מסחריים ומסמלילים נוספים, כולל אלו של פוג'יטסו,^[29] ושל מונדיאל 2022.^[30]

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא אינסוף בוויקישיתוף

ביאורים

^ בחיבורו משנת 1929 מציג Cajori את סמל האינסוף כ-S שוכבת, כפי שאוילר השתמש בה בכתביו. ניתן לראות את הדוגמאות בעמוד 174 ובעמוד 188.

הערות שוליים

^ Alexander Humez, Zero to Lazy Eight: The Romance Numbers, Simon and Schuster, 1994-08-05, עמ' 18, ISBN 978-0-671-74281-2. (באנגלית)
^ Martin Erickson, Beautiful Mathematics, MAA, 2011-12-22, עמ' 1-3, ISBN 978-0-88385-576-8. (באנגלית)
^ Rudy Rucker, Infinity and the Mind: The Science and Philosophy of the Infinite, Princeton University Press, 1995, עמ' 1, ISBN 978-0-691-19138-6
^ Compart AG, Find all Unicode Characters from Hieroglyphs to Dingbats – Unicode Compart, https://www.compart.com/en/unicode/U+221E (באנגלית)
^ Sjoerd van Riel, Viking Age Combs: Local Products or Objects of Trade?, Lund Archaeological Review 23, 2017, עמ' 163–178
^ John Wallis, De sectionibus conicis nova methodo expositis tractatus, 1655, עמ' 24. (בenglish)
^ Joseph Frederick Scott, The Mathematical Work of John Wallis, D.D., F.R.S., (1616-1703), Chelsea Publishing Company, 1981, עמ' 24, ISBN 978-0-8284-0314-6. (באנגלית)
^ Florian Cajori, A History of Mathematical Notation, Volume II: Notations Mainly in Higher Mathematics, The Open Court Publishing Company, 1952, עמ' 44-48
^ Eli Maor, To Infinity and Beyond: A Cultural History of the Infinite - New Edition, Princeton University Press, 2017-11-21, עמ' 7-8, ISBN 978-0-691-17811-0. (באנגלית)
^ ¹ ² Brian Clegg, Chapter 6: Labelling the infinite, A Brief History of Infinity: The Quest to Think the Unthinkable, Little, Brown Book Group, 2013-02-07, ISBN 978-1-4721-0764-0. (באנגלית)
^ ¹ ² Florian Cajori, A History of Mathematical Notation, Volume II: Notations Mainly in Higher Mathematics, The Open Court Publishing Company, 1952
^ לאונרד אוילר, Variae observationes circa series infinitas, Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae 9, 1744, עמ' 160-188 (בלטינית)
^ Barbara A. Shipman, Convergence and the Cauchy Property of Sequences in the Setting of Actual Infinity, PRIMUS 23, 2013-04, עמ' 441–458 doi: 10.1080/10511970.2012.753963
^ Eric W. Weisstein, Aleph-0, mathworld.wolfram.com (באנגלית)
^ Ordinal Number - an overview | ScienceDirect Topics, www.sciencedirect.com
^ Morandir Armson, The Transitory Tarot: An Examination of Tarot Cards, the 21st Century New Age and Theosophical Thought, Literature & Aesthetics 21, 2011, עמ' 196-212
^ Leona Toker, Nabokov : the mystery of literary structures, 1989, עמ' 159
^ Sanja Bahun, ‘These heavy sands are language tide and wind have silted here’1: Tidal Voicing and the Poetics of Home in James Joyce’s Ulysses, London: Palgrave Macmillan UK, 2012, עמ' 57–73, ISBN 978-1-349-33553-4. (באנגלית)
^ Roberto Natalini, David Foster Wallace and the Mathematics of Infinity, New York: Palgrave Macmillan US, 2013, עמ' 43–57, ISBN 978-1-349-34112-2. (באנגלית)
^ Wendy Doniger O'Flaherty, Wendy Doniger, Dreams, Illusion, and Other Realities, University of Chicago Press, 1986-02-15, ISBN 978-0-226-61855-5. (באנגלית)
^ Ronald J. Zboray, A handbook for the study of book history in the United States, Washington, D.C. : Center for the Book, Library of Congress, 2000, עמ' 49, ISBN 978-0-8444-1015-9
^ Brian Crist, David N. Aurello, Development of Camera Symbols for Consumers, Proceedings of the Human Factors Society Annual Meeting 34, 1990-10, עמ' 489–493 doi: 10.1177/154193129003400512
^ Donald T. Healy, Native American flags, Norman : University of Oklahoma Press, 2003, ISBN 978-0-8061-3556-4
^ Adam Gaudry, Communing with the Dead: The “New Métis,” Métis Identity Appropriation, and the Displacement of Living Métis Culture, American Indian Quarterly 42, 2018, עמ' 162 doi: 10.5250/amerindiquar.42.2.0162
^ Our Flag, web.archive.org, ‏2013-07-24
^ Liza Gross, In Search of Autism’s Roots, PLOS Biology 14, 2016-09-30, עמ' e2000958 doi: 10.1371/journal.pbio.2000958
^ A List of Poly Symbols, www.hevanet.com
^ Daniel Crespy, Marianne Bozonnet, Martin Meier, 100 Years of Bakelite, the Material of a 1000 Uses, Angewandte Chemie International Edition 47, 2008-04-21, עמ' 3322–3328 doi: 10.1002/anie.200704281
^ Steve Rivkin, Fraser Sutherland, The Making of a Name: The Inside Story of the Brands We Buy, Oxford University Press, 2005-01-13, ISBN 978-0-19-988340-0. (באנגלית)
^ Qatar 2022: Football World Cup logo unveiled, Al Jazeera (באנגלית)

[13] בחיבורו משנת 1929 מציג Cajori את סמל האינסוף כ-S שוכבת, כפי שאוילר השתמש בה בכתביו. ניתן לראות את הדוגמאות בעמוד 174 ובעמוד 188.

[1] Alexander Humez, Zero to Lazy Eight: The Romance Numbers, Simon and Schuster, 1994-08-05, עמ' 18, ISBN 978-0-671-74281-2. (באנגלית)

[2] Martin Erickson, Beautiful Mathematics, MAA, 2011-12-22, עמ' 1-3, ISBN 978-0-88385-576-8. (באנגלית)

[3] Rudy Rucker, Infinity and the Mind: The Science and Philosophy of the Infinite, Princeton University Press, 1995, עמ' 1, ISBN 978-0-691-19138-6

[4] Compart AG, Find all Unicode Characters from Hieroglyphs to Dingbats – Unicode Compart, https://www.compart.com/en/unicode/U+221E (באנגלית)

[5] Sjoerd van Riel, Viking Age Combs: Local Products or Objects of Trade?, Lund Archaeological Review 23, 2017, עמ' 163–178

[6] John Wallis, De sectionibus conicis nova methodo expositis tractatus, 1655, עמ' 24. (בenglish)

[7] Joseph Frederick Scott, The Mathematical Work of John Wallis, D.D., F.R.S., (1616-1703), Chelsea Publishing Company, 1981, עמ' 24, ISBN 978-0-8284-0314-6. (באנגלית)

[8] Florian Cajori, A History of Mathematical Notation, Volume II: Notations Mainly in Higher Mathematics, The Open Court Publishing Company, 1952, עמ' 44-48

[9] Eli Maor, To Infinity and Beyond: A Cultural History of the Infinite - New Edition, Princeton University Press, 2017-11-21, עמ' 7-8, ISBN 978-0-691-17811-0. (באנגלית)

[:0-10] ¹ ² Brian Clegg, Chapter 6: Labelling the infinite, A Brief History of Infinity: The Quest to Think the Unthinkable, Little, Brown Book Group, 2013-02-07, ISBN 978-1-4721-0764-0. (באנגלית)

[:1-11] ¹ ² Florian Cajori, A History of Mathematical Notation, Volume II: Notations Mainly in Higher Mathematics, The Open Court Publishing Company, 1952

[12] לאונרד אוילר, Variae observationes circa series infinitas, Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae 9, 1744, עמ' 160-188 (בלטינית)

[14] Barbara A. Shipman, Convergence and the Cauchy Property of Sequences in the Setting of Actual Infinity, PRIMUS 23, 2013-04, עמ' 441–458 doi: 10.1080/10511970.2012.753963

[15] Eric W. Weisstein, Aleph-0, mathworld.wolfram.com (באנגלית)

[16] Ordinal Number - an overview | ScienceDirect Topics, www.sciencedirect.com

[17] Morandir Armson, The Transitory Tarot: An Examination of Tarot Cards, the 21st Century New Age and Theosophical Thought, Literature & Aesthetics 21, 2011, עמ' 196-212

[18] Leona Toker, Nabokov : the mystery of literary structures, 1989, עמ' 159

[19] Sanja Bahun, ‘These heavy sands are language tide and wind have silted here’1: Tidal Voicing and the Poetics of Home in James Joyce’s Ulysses, London: Palgrave Macmillan UK, 2012, עמ' 57–73, ISBN 978-1-349-33553-4. (באנגלית)

[20] Roberto Natalini, David Foster Wallace and the Mathematics of Infinity, New York: Palgrave Macmillan US, 2013, עמ' 43–57, ISBN 978-1-349-34112-2. (באנגלית)

[21] Wendy Doniger O'Flaherty, Wendy Doniger, Dreams, Illusion, and Other Realities, University of Chicago Press, 1986-02-15, ISBN 978-0-226-61855-5. (באנגלית)

[22] Ronald J. Zboray, A handbook for the study of book history in the United States, Washington, D.C. : Center for the Book, Library of Congress, 2000, עמ' 49, ISBN 978-0-8444-1015-9

[23] Brian Crist, David N. Aurello, Development of Camera Symbols for Consumers, Proceedings of the Human Factors Society Annual Meeting 34, 1990-10, עמ' 489–493 doi: 10.1177/154193129003400512

[24] Donald T. Healy, Native American flags, Norman : University of Oklahoma Press, 2003, ISBN 978-0-8061-3556-4

[25] Adam Gaudry, Communing with the Dead: The “New Métis,” Métis Identity Appropriation, and the Displacement of Living Métis Culture, American Indian Quarterly 42, 2018, עמ' 162 doi: 10.5250/amerindiquar.42.2.0162

[26] Our Flag, web.archive.org, ‏2013-07-24

[27] Liza Gross, In Search of Autism’s Roots, PLOS Biology 14, 2016-09-30, עמ' e2000958 doi: 10.1371/journal.pbio.2000958

[28] A List of Poly Symbols, www.hevanet.com

[29] Daniel Crespy, Marianne Bozonnet, Martin Meier, 100 Years of Bakelite, the Material of a 1000 Uses, Angewandte Chemie International Edition 47, 2008-04-21, עמ' 3322–3328 doi: 10.1002/anie.200704281

[30] Steve Rivkin, Fraser Sutherland, The Making of a Name: The Inside Story of the Brands We Buy, Oxford University Press, 2005-01-13, ISBN 978-0-19-988340-0. (באנגלית)

[31] Qatar 2022: Football World Cup logo unveiled, Al Jazeera (באנגלית)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[א]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]