חוג האנדומורפיזמים

בתורת החוגים, חוג האנדומורפיזמים של חבורה אבלית או מודול $M$ הוא החוג הכולל את כל האנדומורפיזמים של המודול, כלומר, את כל ההעתקות $f:M\rightarrow M$ השומרות על מבנה המודול. תפקידו של חוג האנדומורפיזמים בתורת החוגים מקביל לזה של חבורת האוטומורפיזמים בתורת החבורות - האנדומורפיזמים הם הסימטריות של המודול, וחוג האנדומורפיזמים מקודד את הקשרים בין המבנה לבין הסימטריות שלו. מקובל לסמן את חוג האנדומורפיזמים של $M$ מעל $R$ ב-$\operatorname {End} (M_{R})$.

אנדומורפיזם של חבורה אבלית הוא העתקה שומרת חיבור מן החבורה אל עצמה. כאשר מדובר במודול (שמאלי, מעל חוג $R$), נוספת הדרישה לכבד את פעולת הכפל בסקלר, כלומר $f(ax)=af(x)$ לכל $a\in R$. פעולת החיבור בחוג האנדומורפיזמים מוגדרת נקודתית, כלומר $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$, והכפל הוא הרכבת פונקציות.

חוג האנדומורפיזמים $S=\operatorname {End} (M_{R})$ פועל בעצמו על המודול $M$, וכך $M$ הופך לבימודול מעל $R$ משמאל ו-$S$ מימין. חזרה על בניה זו מייצרת את חוג האנדומורפיזמים ${\hat {R}}=\operatorname {End} ({}_{S}M)$ של $M$ מעל $S$, המצויד בהומומורפיזם טבעי $\ R\rightarrow {\hat {R}}$, שהוא שיכון אם המודול נאמן. אם המודול פשוט ונאמן, אז תמונת השיכון צפופה (זהו משפט הצפיפות של ג'ייקובסון).

כאשר $V$ מרחב וקטורי מעל שדה $F$, האידיאלים היחידים של חוג האנדומורפיזמים מגיעים מהגבלות על הממד של התמונה והגרעין של איברים. יש בניה כללית יותר המתאימה למודולים שיש להם תת-מודולים עיקריים: $\ \Delta =\{f\in \operatorname {End} (M)|Ker(f)\subseteq _{e}M\}$ הוא תמיד אידיאל (דו-צדדי) בחוג האנדומורפיזמים.

מודולים שחוג האנדומורפיזמים שלהם מקומי נקראים מודולי LE. חוג האנדומורפיזם הוא מושלם למחצה אם ורק אם המודול הוא סכום ישר של מודולי LE.

ראו גם

• חבורת האוטומורפיזמים