מבחן F הוא כל מבחן סטטיסטי אשר בו סטטיסטי המבחן הוא בעל התפלגות F תחת השערת האפס.
השם של המבחן נקבע על ידי הסטטיסטיקאי ג'ורג' ואדל סנדקור (George Waddel Snedecor), כמחווה לרונלד פישר.
להלן מספר דוגמאות נפוצות שבהן משתמשים במבחני F.
יהיו
ו-
שני מדגמים, כך שהשונויות והתוחלות שלהם אינן ידועות.
נניח שאנו רוצים לבדוק האם השונויות זהות או שונות. נגדיר את ההשערות שלנו:
![{\displaystyle H_{0}:\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b56d28b16e8d364265d9f2364da9f1c7da56e85)
![{\displaystyle H_{1}:\sigma _{1}^{2}\neq \sigma _{2}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c93a1fc4aa800d41d45013ff7d6f1a5c77720dd)
כדי לבחון את ההשערות ולקבוע מתי לדחות את השערת האפס נבנה מבחן יחס נראות מוכלל. נגדיר את אומדי הנראות המקסימלית:
![{\displaystyle {\hat {\mu }}_{1}={\bar {X}},\quad {\hat {\sigma }}_{1}^{2}={\frac {1}{n}}\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfc26ba3d5578456df8be3e0374b8ace0c3af4b5)
![{\displaystyle {\hat {\mu }}_{2}={\bar {Y}},\quad {\hat {\sigma }}_{2}^{2}={\frac {1}{m}}\sum (Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59523b24b361c2a7871bdb13777080173cecf8c4)
פונקציית הנראות עבור האומדים הללו מקיימת:
![{\displaystyle L({\hat {\mu }}_{1},{\hat {\mu }}_{2},{\hat {\sigma }}_{1},{\hat {\sigma }}_{2})=\left({\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}{\hat {\sigma }}_{1}}}\right)^{n}e^{-{\frac {n}{2}}}\left({\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}{\hat {\sigma }}_{2}}}\right)^{m}e^{-{\frac {m}{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/721a1b22cdd32caf81ec38f5459fb969e1ab9c19)
תחת השערת האפס, מתקיים שהשונויות שוות, נסמנן
. כעת, פונקציית הנראות תחת השערת האפס היא:
![{\displaystyle L({\hat {\mu }}_{1},{\hat {\mu }}_{2},{\hat {\sigma }}_{0})=\left({\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}{\hat {\sigma }}_{0}}}\right)^{n+m}e^{-{\frac {n+m}{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d087a52a557222ece45f69532588e67eec7c46cf)
משני חישובים אלה נקבל שפונקציית יחס הנראות היא:
![{\displaystyle \lambda (X,Y)={\frac {L({\hat {\mu }}_{1},{\hat {\mu }}_{2},{\hat {\sigma }}_{1},{\hat {\sigma }}_{2})}{L({\hat {\mu }}_{1},{\hat {\mu }}_{2},{\hat {\sigma }}_{0})}}=\left({\frac {{\hat {\sigma }}_{1}^{2}}{{\hat {\sigma }}_{0}^{2}}}\right)^{\frac {n}{2}}\left({\frac {{\hat {\sigma }}_{2}^{2}}{{\hat {\sigma }}_{0}^{2}}}\right)^{\frac {m}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a936218fdc825f7acf796c37800e7e39fd828c3d)
ואם נציב בביטוי את הנתונים ונפשט נקבל:
![{\displaystyle \lambda (X,Y)=\left(\left(1+{\frac {\sum (Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}}{\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2}}}\right){\frac {n+m}{n}}\right)^{-{\frac {n}{2}}}\left(\left(1+{\frac {\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2}}{\sum (Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}}}\right){\frac {n+m}{m}}\right)^{-{\frac {m}{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d8b5a97ea4a0189020268eda1f0aa11d61c5e09)
כעת, נביט בסטטיסטי
. נשים לב שגם כאשר ביטוי זה שואף ל-0 וגם כאשר הוא שואף לאינסוף,
שואפת לאינסוף. לכן, מבחן יחס נראות מוכלל יהיה מהצורה:
נדחה את השערת האפס אם
או
, כאשר רמת הביטחון מקיימת
![{\displaystyle \alpha =P\left(\{T(X,Y)<C_{2}\}\cup \{T(X,Y)>C_{1}\}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aa2583a677f0a6be75465bb69331acca416e68a)
.
כעת, נשים לב לתכונות הבאות:
לכן, נעדיף להשתמש בסטטיסטי
.
כדי לקבל אותו, נחלק ב-
את המקומות הרלוונטיים בפונקציית יחס הנראות. עדיין יתקיים שכשהסטטיסטי החדש שואף לאינסוף או ל-0, כך גם פונקציית יחס הנראות. לכן נקבל את אותו מבחן יחס נראות מוכלל רק עם ערכי C שונים:
נדחה את השערת האפס אם
או
כאשר רמת הביטחון מקיימת
.
ולמעשה נוכל למצוא את ערכי ה-C לפי התפלגות F :