משפט וילסון

משפט וילסון הוא משפט בתורת המספרים, הקובע שאם p מספר ראשוני, אז p מחלק את $\ (p-1)!+1$ (ראו עצרת למשמעות הסימון "!"). המשפט נקרא על-שם ג'ון וילסון, למרות שלגראנז' היה הראשון להוכיח את המשפט, בשנת 1773.

הכיוון ההפוך למשפט נכון גם הוא, משום שאם p אינו ראשוני אז הוא מחלק את $\ (p-1)!$.

היסטוריה

הראשון שגילה את המשפט היה ככל הנראה המתמטיקאי ההודי Bhāskara I, מאוחר יותר המשפט הוסבר על ידי המדען הערבי איבן אל-היית'ם שחי בתקופת ימי הביניים, בערך בשנת 1000 לספירה. המשפט קרוי על שמו של וילסון, מתמטיקאי אנגלי וסטודנט של אדוארד וארינג, שהזכיר את המשפט במאה ה-18. וארינג הכריז על המשפט בשנת 1770 למרות שגם הוא וגם וילסון לא יכלו להוכיח אותו, ולגראנז', ב-1773, היה הראשון שסיפק לו הוכחה. ישנן ראיות שלייבניץ היה מודע לכך כתשעים שנה קודם לכן, אך מעולם לא פרסם זאת.

הוכחה

נניח ש- p ראשוני. לכל $\ 1\leq a<p$ קיים b יחיד באותו טווח, המקיים $\ ab\equiv 1{\pmod {p}}$ (זהו ההפכי של a בחבורת אוילר $\ U_{p}$). אם a הפוך לעצמו אז $\ p|(a-1)(a+1)$, ולכן המספרים היחידים ההפוכים לעצמם הם 1 ו- p-1. מכאן שבמכפלה $\ (p-1)!=1\cdot 2\cdot \dots (p-1)$, כל המספרים פרט ל- 1 ו- p-1 מסודרים בזוגות שמכפלתם 1, ולכן המכפלה כולה שקולה מודולו p ל-$\ -1$.

אותה הוכחה מתאימה לתוצאה כללית יותר: מכפלת כל האיברים בחבורה אבלית סופית שווה למכפלת האיברים מסדר 2 בחבורה.

יישומים

אם p ראשוני אי-זוגי, אז $\ (p-1)!=(1\cdot \cdots \cdot {\frac {p-1}{2}})\cdot ({\frac {p+1}{2}}\cdot \cdots \cdot (p-1))=\left({\frac {p-1}{2}}\right)!^{2}(-1)^{\frac {p-1}{2}}$, ולפי משפט וילסון $\ \left({\frac {p-1}{2}}\right)!^{2}=(-1)^{\frac {p+1}{2}}$. לכן, אם $\ p\equiv 1{\pmod {4}}$, הערך $\ \left({\frac {p-1}{2}}\right)!$ מהווה שורש ריבועי של 1-. (מאידך, אם $\ p\equiv -1{\pmod {4}}$ אז 1- אינו שארית ריבועית).

ראו גם

• הלמה של גאוס