משפט תלמי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Luckas-bot (שיחה | תרומות) מ r2.7.1) (בוט מוסיף: gl:Teorema de Ptolomeo |
NjardarBot (שיחה | תרומות) מ r2.7.3) (בוט מוסיף: nn:Ptolemaios-satsen |
||
שורה 52: | שורה 52: | ||
[[ko:프톨레마이오스 정리]] |
[[ko:프톨레마이오스 정리]] |
||
[[nl:Stelling van Ptolemaeus]] |
[[nl:Stelling van Ptolemaeus]] |
||
[[nn:Ptolemaios-satsen]] |
|||
[[pl:Twierdzenie Ptolemeusza]] |
[[pl:Twierdzenie Ptolemeusza]] |
||
[[pt:Teorema de Ptolomeu]] |
[[pt:Teorema de Ptolomeu]] |
גרסה מ־22:19, 31 באוגוסט 2012
בגאומטריה אוקלידית, משפט תלמי מתאר קשר בין ארבע הצלעות של מרובע החסום במעגל לבין אלכסוני המרובע. המשפט קרוי על שמו של המתמטיקאי והאסטרונום היווני בן המאה השנייה, פטולמאוס קלאודיוס המוכר בקצרה בשם תַלְמַי.
ניסוח המשפט: אם במרובע ABCD סכום זוג זוויות נגדיות אחד שווה לסכום הזוג השני,
כלומר: ,
אז:
מכיוון שכל מרובע המקיים ניתן לחסום במעגל,
הרי שאת המשפט ניתן לנסח גם באופן הבא:
בכל מרובע ציקלי, סכום מכפלת הצלעות הנגדיות שווה למכפלת האלכסונים.
המשפט ההפוך נכון גם הוא: כל מרובע שסכום מכפלת צלעותיו הנגדיות שווה למכפלת אלכסוניו, ניתן לחסום במעגל.
הוכחה
- יהי ABCD כך ש
- נחסום את המרובע במעגל.
- בניית עזר: ישר מקודקוד B החותך את הצלע AC בנקודה K כך ש
- , כיוון שהן זוויות היקפיות הנשענות על אותה הקשת .
- משני הסעיפים הקודמים, נובע כי המשולשים AKB , DCB דומים , ולכן
- , כיוון שהן זוויות היקפיות הנשענות על אותה הקשת .
- מבניית העזר, . כמו -כן ו- , ולכן .
- משני הסעיפים הקודמים, נובע כי המשולשים KBC , ABD דומים , ולכן
- מאחר ש -AK/AB = CD/BD ו- CK/BC = DA/BD, אזי:
- AK·BD = AB·CD ו- CK·BD = BC·DA;
- נחבר את שני השוויונות הנ"ל ונקבל: AB·CD + BC·DA = (AK+CK)·BD ;
- אבל AK+CK = AC ולכן AC·BD = AB·CD + BC·DA. מ.ש.ל.
אי-שוויון תלמי
השוויון בניסוח משפט תלמי, לא מתקיים עבור מרובעים שלא ניתן לחסום במעגל.ניתן להכליל את המשפט למרובע כללי ABCD,באמצעות אי-השוויון הבא:
- , כאשר שוויון מתקיים אם ורק אם ניתן לחסום את המרובע במעגל