גובה (גאומטריה)

שלושת הגבהים במשולש

בגאומטריה, המושג גובה מוגדר בהקשר של מצולעים וגופים אחדים:

• במשולש הגובה הוא קטע המחבר את קודקוד המשולש עם הצלע שמולו (או המשכה), ויוצר זווית ישרה (בת 90 מעלות) בינו ובין הצלע.
• בטרפז ובמקבילית הגובה הוא קטע המחבר בין שתי הצלעות המקבילות, ויוצר זווית ישרה עם כל אחת מהן.
• בפירמידה ובחרוט הגובה הוא קטע המחבר את הקודקוד עם הבסיס ומאונך לו.
• במנסרה ובגליל הגובה הוא קטע המחבר את הבסיסים ומאונך להם.

נהוג לסמן קטע זה באות h, מהמילה האנגלית height (גובה).

במשולש

שלושת הגבהים במשולש נפגשים בנקודה אחת (זה נובע מהכיוון ההפוך למשפט צ'בה). נקודה זו נמצאת, יחד עם מפגש התיכונים ומפגש האנכים האמצעיים, על ישר אוילר.

אם שני משולשים שווים בשלושת הגבהים שלהם, הם חופפים. אכן, שלושת הגבהים מאפיינים את המשולש באופן הבא: נניח ש-$\ h_{1},h_{2},h_{3}$ הם הגבהים לצלעות $\ a_{1},a_{2},a_{3}$ במשולש. נסמן $\ T=h_{1}h_{2}+h_{2}h_{3}+h_{3}h_{1}$. אז שטח המשולש הוא $\ S={\frac {(h_{1}h_{2}h_{3})^{2}}{\sqrt {T(T-2h_{1}h_{2})(T-2h_{2}h_{3})(T-2h_{3}h_{1})}}}$, והצלעות הן $\ a_{i}={\frac {2S}{h_{i}}}$.

הזווית בין שני גבהים משלימה לזווית בין הצלעות. ואם $\ \gamma$ היא הזווית בין שתי צלעות a,b, אז שטח המשולש הוא $\ S={\frac {1}{2}}\sin(\gamma )ab={\frac {1}{2}}{\frac {h_{a}h_{b}}{\sin(\gamma )}}$.

מבין כל המשולשים שהגבהים שלהם לצלעות a,b נתונים, למשולש ישר הזווית (שבו a,b מאונכים) יש השטח המקסימלי. משולש שבו שני גבהים שווים הוא שווה-שוקיים. מבין כל המשולשים שיש להם קודקוד על כל צלע של משולש חד-זווית נתון, המשולש בעל ההיקף הקטן ביותר הוא זה המחבר את עקבי הגבהים (את הבעיה הציע ופתר Giovanni Fagnano ב-1775).

שימושים

במצולעים, הגובה משמש לחישוב השטח:

• שטח המשולש הוא $S={\frac {h\cdot a}{2}}$ כאשר a הוא אורך הבסיס לגובה.
• שטח המקבילית הוא $S=h\cdot a$ כאשר a הוא אורך הבסיס לגובה. שטח הטרפז הוא $S={\frac {h\cdot (a+b)}{2}}$ כאשר a ו-b הם אורכי הבסיסים.

בגופים, הגובה משמש לחישוב הנפח:

• נפח הפירמידה והחרוט הוא $V={\frac {h\cdot s}{3}}$ כאשר s הוא שטח הבסיס.
• נפח המנסרה והגליל הוא $V=h\cdot s$ כאשר s הוא שטח הבסיסים.
• מפגש גבהים במשולש מאפשר חישוב:

א. שיפוע גבהים / צלעות (מכפלה=1- )
ב. נוסחאות הצלעות לפי הקודקודים הנתונים
ג. מציאת קודקוד נעלם לפי מפגש הצלעות