אורך פלאנק

אורך פלאנק הוא האורך הפיזיקלי הקצר ביותר הניתן למדידה, כ- $1.62\cdot 10^{-35}$ מטר או 4×10^33- סנטימטר. זוהי יחידת אורך טבעית הנובעת מקבועים פיזיקליים כמו מהירות האור, קבוע ניוטון וקבוע פלאנק. עקרון אי הוודאות קובע שאורך פלאנק הוא הרדיוס המינימלי של חור שחור. למדידת אורך קצר מאורך פלאנק אין משמעות, משום שאין אפשרות לבצע מדידה פנימה לאופק האירועים של חור שחור. כמו כן, אורך פלאנק מהווה את אחת היחידות הבסיסיות במערכת יחידות פלאנק.

הערך

ערכו של אורך פלאנק הוא:

$$l_{P}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}=1.61624\cdot 10^{-35}\,m$$

אורך זה קטן בכעשרים סדרי גודל מקוטרו של פרוטון, ואין כיום דרך מעשית למדוד אותו.

פיתוח הנוסחה של אורך פלאנק

המסה המינימלית של חור שחור שווה למחצית מסת פלאנק. עבור חור שחור כזה המסה ואי הוודאות במדידתה שוות. רדיוס שוורצשילד מינימלי של חור שחור שווה לאורך פלאנק

בהתאם לעקרון אי הוודאות, מסת פלאנק נותנת את סדר הגודל למסה המינימלית של חור שחור (וראו את פיתוח הנוסחה למסה מינימלית של חור שחור):

$$\,m_{min}\sim {\sqrt {\frac {\hbar c}{4G}}}={\frac {m_{P}}{2}}$$

אורך פלאנק הוא רדיוס שוורצשילד של חור שחור בעל מסה מינימלית:

$$\,l_{P}={\frac {2Gm_{min}}{c^{2}}}={\frac {Gm_{P}}{c^{2}}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}$$

הקשר לאורך גל קומפטון

אורך פלאנק שווה לאורך גל קומפטון של גוף שמסתו שווה למסת פלאנק חלקי $\,2\pi$:

$$\,l_{P}={\frac {\lambda _{C}}{2\pi }}={\frac {h}{2\pi m_{P}c}}={\frac {\hbar }{c}}{\sqrt {\frac {G}{\hbar c}}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}$$

ראו גם

• טמפרטורת פלאנק
• חור שחור זעיר