חלוקה (תורת הקבוצות)

בתורת הקבוצות, חלוקה (לפעמים נקראת חלוקה זרה) של קבוצה X, היא אוסף של תת קבוצות לא ריקות של X, שהן זרות בזוגות ומכסות את X. באופן פורמלי, אוסף הקבוצות $\ \{A_{\alpha }\}$ הוא חלוקה של $\ X$ אם מתקיים:

• $\bigcup _{\alpha }A_{\alpha }=X$. כלומר, האיחוד של כל $\ A_{\alpha }$ שווה ל $\ X$. במקרה זה אומרים כי $\ \{A_{\alpha }\}$ מכסה את $\ X$.
• לכל $\ \alpha _{1}\neq \alpha _{2}$ מתקיים $A_{\alpha _{1}}\cap A_{\alpha _{2}}=\emptyset$.
• לכל $\ A_{\alpha }\neq \emptyset ,\alpha$

לעתים לא דורשים כי הקבוצות $\ A_{\alpha }$ תהיינה לא ריקות.

דוגמאות

• קבוצת המספרים הזוגיים וקבוצת המספרים האי זוגיים היא חלוקה של קבוצת המספרים השלמים.
• כל יחס שקילות על קבוצה מסויימת מגדיר עליה חלוקה למחלקות שקילות. הכיוון ההפוך גם נכון: כל חלוקה של קבוצה היא למעשה מחלקות שקילות של יחס שקילות שמוגדר כך שהאיבר a שקול ל-b אם שניהם שייכים לאותה תת קבוצה.
• אם H היא תת חבורה של G, אז המחלקות הימניות או השמאליות של H הן חלוקה של G. אם H תת חבורה נורמלית, איברי החלוקה מהווים חבורה בפני עצמם באופן טבעי.
• לכל קבוצה X קיימות של חלוקות טריוויאליות: החלוקה $\left\{X\right\}$ שמכילה איבר יחיד והוא הקבוצה כולה, והחלוקה $\ \left\{\left\{x\right\}:x\in X\right\}$ - פירוק הקבוצה ליחידונים.

חבורה פרימיטיבית

בתורת החבורות, כאשר חבורה פועלת על קבוצה, ניתן לדבר על חלוקות שהן אינווריאנטיות תחת אותה חבורה או אינן. חלוקה $\ \{A_{\alpha }\}$ נקראת G-אינווריאנטית (כאשר G היא החבורה) אם עבור כל איבר מ-G, $\ g\in G$ מתקיים:

$\ \left\{A_{\alpha }\right\}=\left\{gA_{\alpha }\right\}$

$gA_{\alpha }\ =\{g(a):a\in A_{\alpha }\}$

כלומר איברי החבורה לכל היותר מחליפים בין קבוצות החלוקה אך לא לוקחים קבוצה מהחלוקה המקורית לקבוצה שלא נמצאת בחלוקה. חבורות שהחלוקות האינווריאנטיות היחידות שלהן הן החלוקות הטריוויאליות נקראות חבורות פרימיטיביות.