מעבר קרינה

מעבר קרינה הוא תחום בפיזיקה העוסק במעבר של קרינה אלקטרומגנטית (למשל אור נראה, גלי מיקרו), דרך תווך. אלומת אור נעה בריק בלי שום שינוי בעוצמתה או במצב הקיטוב שלה. אולם במעבר דרך חומר חלק מהאנרגיה של האלומה יכול להיבלע בחומר ולהפוך לאנרגיית חום (בליעה), חלק מהאלומה יתפזר לכיוונים שונים (פיזור) ולכן גם יגרום לאיבוד אנרגיה מהאלומה הראשית, וחלק מהאלומה יתקדם (העברה). האור המתפזר והמתקדם יכול להיות בקיטוב שונה מהאלומה המקורית.

משוואת מעבר הקרינה, המוצגת בהמשך, מתארת את תלות עוצמת הקרינה בתכונות החומר. מעבר קרינה שימושי בתחומים רבים כגון: אופטיקה (משקפי שמש למשל), אסטרופיזיקה, מדעי האטמוספירה (לדוגמה בחישוב קרינת השמש), קוסמטיקה (יצירת קרם הגנה) וחשמל (חימום בתנור מיקרוגל ביתי).

יחידות מידה של עוצמת קרינה

זרימה של אנרגיה קרינתית על ידי אלומה הנעה בכיוון $\ {\vec {\Omega }}$ דרך אלמנט שטח dS. כיוון האלומה יוצרת זווית $\theta$ עם הנורמל למשטח

הראדיאנס הוא הגודל המרכזי בתאוריה של מעבר קרינה והוא גם הגודל אותו מודדים בניסויי מעבר קרינה. הראדיאנס הוא האנרגיה של האור העוברת ביחידת שטח $dS$, ליחידת זמן $dt$, ליחידת תדר של האור $d\omega$, ליחידת זווית מרחבית $d\Omega$:

$I={\frac {dE}{dS\cos \theta \,dt\,d\Omega \,d\omega }}$

$\ dS\cos \theta$ הוא ההטלה של אלמנט השטח בכיוון האלומה. יחידות המידה של הראדיאנס במערכת SI הן: $\ [W\cdot m^{-2}\cdot str^{-1}\cdot Hz^{-1}]$

גודל בסיסי אחר הוא שטף הקרינה והוא מוגדר כאינטגרל של הראדיאנס על כל הזוויות המרחביות של הרכיב הנורמלי למשטח $dS$.

בליעה (הנחתה)

עוצמת הקרינה של אלומה המתקדמת בתווך תקטן לרוב כתוצאה מהאינטראקציה עם התווך. בקטע קצר $d\ell$ קטנה עוצמת הקרינה (ראדיאנס) ב- $dI=-\kappa Id\ell$ כאשר$\kappa$ נקרא מקדם ההנחתה והוא תלוי בסוג החומר, צפיפותו, אורך הגל של הקרינה וכוון התקדמותה.

עוצמת הקרינה הנעה בכיוון מסוים נחלשת כתוצאה משני מנגנונים:

• פיזור - חלק מהאנרגיה מתפזר לכיוונים שונים מכיוון ההתקדמות של האלומה ולכן עוצמת הקרינה בכיוון המקורי קטן.
• בליעה - חלק מהאנרגיה נבלע בתווך ומומר לאנרגיה מצורה אחרת (למשל חום) או הופך לקרינה בתדירויות אחרות ולא בתדירות המקורית.

המחשה של סדרה של עוביים אופטיים. ככל שהעובי האופטי עולה, צפיפות החומר גדולה

הראדיאנס כתלות במרחק המעבר בחומר קטן מעריכית,

$I=I_{0}e^{-\tau }$,

כאשר $\tau \equiv \int \kappa d\ell$ נקרא עומק אופטי והוא גודל חסר יחידות המתאר את עוצמת ומספר החלקיקים הפעילים אופטית לאורך התקדמות האלומה. עבור חומר אחיד,

$I=I_{0}e^{-\kappa \ell }$.

העובי האופטי הכולל להנחתה מוגדר כסכום העוביים האופטיים לפיזור ולבליעה. אם יש ערבוב של מספר חלקיקים שונים, העובי האופטי הוא סכום העוביים האופטיים של כל אחד מהם,

$\ \tau =\sum _{i}\int \kappa _{i}\,d\ell$,

כאשר הסכימה היא על כל סוגי החלקיקים הפעילים אופטית.

פליטה (הגברה)

התווך יכול לגרום להגברת הקרינה בכיוון מסוים כתוצאה מכמה מנגנונים. הבולט ביניהם הוא פליטה מאולצת (לזירה). מנגנון אחר הוא הגברה בכיוון של האלומה כתוצאה מפיזור של אלומה אחרת. עוד מנגנון הוא פליטה ספונטנית של החומר כתוצאה מקרינת גוף שחור.

הגברה כתוצאה מפיזור אלומה אחרת

נבדוק את העוצמה של אלומה הנעה בכיוון $\Omega$. נניח כי אלומה שנייה נעה בכיוון $\Omega '$. חלק מן הקרינה יכול להתפזר לכיוון $\Omega$ ובכך להגביר את הקרינה בכיוון זה.

פונקציית הפיזור $P(\Omega ,\Omega ')$ היא כמות האנרגיה המתפזרת לכיוון $\Omega$ מכיוון התחלתי $\Omega '$, כאשר זווית הפיזור נתונה על ידי $\cos \theta ={\vec {\Omega }}\cdot {\vec {\Omega }}'$.

החלק מהקרינה שהתפזר לכיוון $\Omega$ הוא

${\frac {P(\cos \theta )}{4\pi }}$ ,

וכדי לדעת את סך כל האנרגיה המתפזרת מכל הכיוונים לכיוון $\Omega$ יש לסכום על כל הכיוונים, דהיינו:

$dI_{s}(\Omega )=\kappa _{s}\int P(\cos \theta )I(\Omega '){\frac {d\Omega '}{4\pi }}$ ,

כאשר $\kappa _{s}$ הוא מקדם ההנחתה כתוצאה מפיזור.

הגברה כתוצאה מפליטת גוף שחור

מנגנונים נוספים יכולים להגביר קרינה בכיוון מסוים אם ישנם מקורות אחרים בתווך או אם התווך בשיווי משקל תרמודינמי לוקלי, אזי ניתן להניח טמפרטורה T בכל מקום, כך שבכל מקום נפלטת קרינה בהתאם לקרינת גוף שחור.

כמות האנרגיה הנפלטת מאלמנט $\ ds$ בכיוון ההתקדמות היא: $\ dE=j({\vec {r}},{\vec {\Omega }})\rho dSdsdtd\nu d\omega$

כך שבמקרה של פיזור $\ j({\vec {r}},{\vec {\Omega }})=k^{s}\int _{4\pi }P(cos\Theta )I({\bar {\Omega }}'){\frac {d\omega '}{4\pi }}$

ובמקרה של שיווי משקל תרמודינמי וחוקי קירכהוף: $\ j({\vec {r}},{\vec {\Omega }})=k^{a}B(T)$

כאשר $k^{a}$ הוא מקדם הבליעה של החומר ו- $\ B(T)$ היא פונקציית פלנק.

משוואת מעבר קרינה

אם לוקחים בחשבון רווח והפסד של אנרגיה קרינתית, אפשר לרשום את קצב שינוי האנרגיה של אלומה בכיוון מסוים ${\vec {\Omega }}$ :

$\ dI=-k\rho Ids+j\rho ds$ או בצורה:

$\ {\frac {dI}{k\rho ds}}=-I+{\frac {j}{k}}$

היחס ${\frac {j}{k}}$ נקרא פונקציית המקור ומסומן באות $\ S$

משוואת מעבר הקרינה יכולה להיכתב גם בצורה הבאה:

$\ {\frac {1}{k\rho }}{\vec {\Omega }}\cdot \nabla I=-I({\vec {r}},{\vec {\Omega }})+S$

או לפי נגזרת של העובי האופטי בכיוון התקדמות האלומה:

$\ {\frac {dI}{d\tau }}=-I+S$

אם נרשום את פונקציית המקור לפיזור נקבל: $\ S^{s}({\bar {r}},{\bar {\Omega }})=\varpi \int _{4\pi }P(cos\Theta )I({\bar {\Omega }}'){\frac {d\omega '}{4\pi }}$

המקדם $\varpi$ נקרא אלבדו, והוא מספר טהור בין אפס לאחד, המציין את ההסתברות שפוטון יתפזר על ידי התווך. תווך נקרא תווך משמר אם ישנם רק פיזורים ואין בליעות כך שכל האנרגיה נשמרת. במקרה כזה $\ \varpi =1$

משוואת מעבר הקרינה, בנוכחות תווך מפזר, בולע ופולט קרינה תרמית יכול להיכתב בצורה הבאה:

$\ {\frac {dI}{d\tau }}=-I+[1-\varpi ]B(T)+\varpi \int _{4\pi }P(cos\Theta )I({\bar {\Omega }}'){\frac {d\omega '}{4\pi }}$

כאשר התלות בזמן חשובה ולא ניתן להתעלם ממנה, צריך להוסיף, קצב שינוי לפי הזמן:

$\ {\frac {1}{c}}{\frac {\partial I}{\partial t}}+{\frac {1}{k\rho }}{\vec {\Omega }}\cdot \nabla I=-I({\vec {r}},{\vec {\Omega }})+S$

משוואת מעבר הקרינה היא משוואה אינטגרו-דפרנציאלית ולכן פתרון אנליטי קיים במקרים פשוטים שבדרך כלל לא קיימים בטבע ונדרשות שיטות נומריות על מנת לפתור את המשוואה.