מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
במתמטיקה , פונקציית ליוביל (על שם המתמטיקאי הצרפתי ז'וזף ליוביל ) היא פונקציה אריתמטית חשובה בתורת המספרים , אשר לכל
n
{\displaystyle n}
λ
(
n
)
=
(
−
1
)
Ω
(
n
)
{\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}}
כאשר
Ω
(
n
)
{\displaystyle \Omega (n)}
המספרים הראשוניים המחלקים את
n
{\displaystyle n}
ניתן לראות כי
Ω
(
a
b
)
=
Ω
(
a
)
+
Ω
(
b
)
{\displaystyle \Omega (ab)=\Omega (a)+\Omega (b)}
λ
(
a
b
)
=
λ
(
a
)
λ
(
b
)
{\displaystyle \lambda (ab)=\lambda (a)\lambda (b)}
1 אין גורמים ראשוניים, לכן
Ω
(
1
)
=
0
{\displaystyle \Omega (1)=0}
λ
(
1
)
=
1
{\displaystyle \lambda (1)=1}
∑
d
|
n
λ
(
d
)
=
{
1
:
n
=
k
2
0
:
n
≠
k
2
{\displaystyle \sum _{d|n}\lambda (d)={\begin{cases}1&:n=k^{2}\\0&:n\neq k^{2}\end{cases}}}
ניתן לראות כי פונקציית ליוביל והערך המוחלט של פונקציית מביוס הם הופכי דיריכלה .
פונקציית ליוביל מופיע גם בטורים של פונקציות אחרות, לדוגמה
ζ
(
2
s
)
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
λ
(
n
)
n
s
{\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n\,=\,1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}}
∑
n
=
1
∞
λ
(
n
)
q
n
1
−
q
n
=
∑
n
=
1
∞
q
n
2
=
1
2
(
ϑ
3
(
q
)
−
1
)
{\displaystyle \sum _{n\,=\,1}^{\infty }\lambda (n){\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n\,=\,1}^{\infty }q^{n^{2}}={\frac {1}{2}}\left(\vartheta _{3}(q)-1\right)}
כאשר
ϑ
3
(
q
)
{\displaystyle \vartheta _{3}(q)}
פונקציית תטא של יעקובי (אנ' ) .
לאורך השניים הוצגו שתי השערות בנוגע לפונקציית ליוביל, אך שתיהן הוכחו כשגויות. הטענה הראשונה הייתה שאם נגדיר את הפונקציה
L
(
n
)
=
∑
k
=
1
n
λ
(
k
)
{\displaystyle L(n)=\sum _{k\,=\,1}^{n}\lambda (k)}
L
(
n
)
≤
0
{\displaystyle L(n)\leq 0}
n
>
1
{\displaystyle n>1}
השערת פוליה והוצא על ידי ג'ורג' פוליה בשנת 1919 , אך הוכחה כשגויה בשנת 1980 , למשל עבור
n
=
906150257
{\displaystyle n=906150257}
T
(
n
)
=
∑
k
=
1
n
λ
(
k
)
k
{\displaystyle T(n)=\sum _{k\,=\,1}^{n}{\frac {\lambda (k)}{k}}}
T
(
n
)
≥
0
{\displaystyle T(n)\geq 0}
1958 , ולמעשה לפונקציה יש נקודות שליליות רבות. אם השערה זו הייתה נכונה, היה הדבר מוביל להוכחת השערת רימן , כפי שהראה פאל טוראן .
