לדלג לתוכן

שבר יסודי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

שבר יסודי (ידוע גם כשבר יחידה, או שבר אוניטרי מהמונח האנגלי unit fraction) הוא מספר רציונלי הנכתב בצורת שבר, שבו המונה שווה ל-1 והמכנה הוא מספר טבעי. שבר יסודי הוא לפיכך ההופכי של מספר טבעי, וצורתו . דוגמאות לשבר יסודי הן , , , , וכיוצא באלה.

כל מספר רציונלי ניתן לייצוג כסכום סופי של שברים יסודיים שונים, באינסוף דרכים שונות[1].

תוצאת ההכפלה של שברים יסודיים היא שבר יסודי: . לעומת זאת, פרי חיבור, חיסור או חילוק של שברים יסודיים, לא יהיה תמיד שבר יסודי.

סכומים סופיים של שברים יסודיים

[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן ליצג כל מספר רציונלי חיובי כסכום של שברי יחידה, במספר דרכים שונות. לדוגמה,

.

בדומה ליוונים הקדמונים שלא קיבלו את קיומם של מספרים אי-רציונליים, המצרים הקדמונים לא הכירו בקיומם העצמאי של שברים כלליים. במקום זה, הציגו את כל השברים שלהם כסכום של שברים יסודיים. לכן, מספרים רציונליים המוצגים כסכום של שברים יסודיים שונים נקראים שברים מצריים. אפילו בתקופתנו ישנה התעניינות בניתוח שיטותיהם וסיבותיהם של הקדמונים להעדפת ובחירת יצוג אחד על-פני אחר, ולחישובים שעשו עם ייצוגים כאלה. גם לתורת המספרים המודרנית יש עניין רב בשברים מצריים; כך למשל השערת ארדש-גראהם והשערת ארדש-שטראוס עוסקות בסכומים של שברים יסודיים, כך גם ההגדרה של מספרים אור-הרמוניים.

בתורת החבורות הגאומטרית, חבורות משולש ממוינות לאוקלידיות, כדוריות והיפרבוליות בהתאמה לשאלה האם סכום מותאם של שברים יסודיים שווה, גדול או קטן מ-1.

טורים של שברים יסודיים

[עריכת קוד מקור | עריכה]

שברים יסודיים הם איבריהם של טורים אינסופיים מוכרים רבים. בכללם:

  • הטור ההרמוני, הוא סכום כל השברים היסודיים החיוביים. הטור מתבדר, וסכומיו החלקיים
הם קירוב טוב ל- (קבוע אוילר ועוד הלוגריתם הטבעי של n) כש-n גדול.

מטריצות של שברים יסודיים

[עריכת קוד מקור | עריכה]

מטריצת הילברט היא המטריצה שאיבריה נתונים על ידי הנוסחה

.

למטריצה התכונה המעניינת שכל האיברים במטריצה ההופכית שלה הם מספרים שלמים. באופן דומה, המתמטיקאי ריצ'רדסון הגדיר מטריצה שאיבריה נתונים על ידי הנוסחה

,

כאשר מסמל את האיבר ה-i-י בסדרת פיבונאצ'י. באופן אנלוגי הומוריסטי, הוא מכנה את המטריצה הזו "מטריצת פילברט", והיא בעלת אותה התכונה המעניינת של מטריצת הילברט.

בהתפלגות האחידה הבדידה, כל ההסתברויות הן שברים יסודיים שווים.

שברים יסודיים בפיזיקה

[עריכת קוד מקור | עריכה]
  • במשך זמן מה, האמינו כי ערכו של קבוע המבנה הדק שווה לשבר היסודי , אך כיום יודעים שסברה זו אינה נכונה.

קישורים חיצוניים

[עריכת קוד מקור | עריכה]
  • שבר יסודי, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

[עריכת קוד מקור | עריכה]
  1. ^ אם הוא השבר בעל המכנה הגדול ביותר המשתתף בסכום, אפשר להחליף אותו למשל ב-, ועיין ערך שבר מצרי