שבר (מתמטיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
תרשים עוגה, להמחשה ויזואלית של שבר. שלושה-רבעים מהעוגה צבועים בירוק, ורבע אחד בכתום.

במתמטיקה אלמנטרית, שבר הוא מספר המוצג כחילוק של מספר שלם אחד במספר שלם שני (שאיננו 0). לשבר יש את הצורה m\over n, כאשר n, m הם מספרים שלמים, ו-n איננו 0.

מספר הניתן להצגה כשבר נקרא מספר רציונלי.

דוגמה: המספרים 1\over 2, 4\over 3 הם שברים.

מונחים בשבר פשוט[עריכת קוד מקור | עריכה]

הקו המפריד בין שני המספרים היוצרים את השבר קרוי קו השבר, המספר שמעליו קרוי מונה, והמספר שמתחתיו קרוי מכנה. לעתים מחליף את קו השבר הסימן \!\, /, והשבר נרשם בצורה \!\,m/n.

מקובלת הבחנה בין שני סוגים של שברים:

  • שבר אמיתי: שבר שבו המונה קטן מהמכנה. שבר כזה גדול מ-0 וקטן מ-1.
  • שבר מדומה: שבר שבו המונה גדול מהמכנה או שווה לו.

מספר המורכב משלם ושבר קרוי מספר מעורב.

כאשר למונה ולמכנה יש גורם משותף, זהו שבר שאינו מצומצם. ניתן לצמצם את השבר באמצעות חלוקת המונה והמכנה בגורם המשותף שלהם, ולקבל שבר מצומצם. דוגמה: 6\over 12 אינו שבר מצומצם, אך אם נחלק את המונה והמכנה ב-6 נקבל את השבר המצומצם 1\over 2, השווה בערכו לשבר המקורי.

שבר יסודי[עריכת קוד מקור | עריכה]

שבר יסודי (ידוע גם כשבר יחידה, או שבר אוניטרי מהמונח האנגלי unit fraction) הוא מספר רציונלי הנכתב בצורת שבר שבו המונה שווה ל-1 והמכנה הוא מספר טבעי. שבר יסודי הוא לפיכך ההופכי של מספר טבעי, וצורתו \ \displaystyle {1\,\,} \over n. דוגמאות לשבר יסודי הן \ {\frac{1}{1}= 1}, \ \frac{1}{2}, \ \frac{1}{3}, \ \frac{1}{42}, וכיוצא באלה.

כל מספר רציונלי \ \frac{m}{n} ניתן לייצוג כסכום של שברים יסודיים (לעתים בכמה אופנים).

שבר מדומה[עריכת קוד מקור | עריכה]

שבר מדומה הוא שבר פשוט שערכו המוחלט שווה ל–1 או גדול ממנו. למשל, \frac{3}{2}, \frac{2}{2} או -\frac{2}{2}. בשבר המדומה ערכו המוחלט של המונה גדול או שווה לערכו המוחלט של המכנה. שבר מדומה נקרא בעברית בשם זה, כי נדמה שהוא שבר, אך למעשה אפשר לפרק אותו כסכום של שלם ושבר.

באנגלית נקרא השבר המדומה Improper fraction, כלומר "שבר לא תקין". אותה משמעות יש גם למונח הגרמני. בסינית השם הוא "שבר מזויף". המונח העברי אינו מרמז על תכונה שלילית של השבר המדומה (או על קשר כלשהו למספר מדומה), אלא רק על כך שמאחוריו חבוי משהו אחר.

הפיכת שבר מדומה למספר מעורב[עריכת קוד מקור | עריכה]

כאמור, שבר מדומה נקרא כך כי אפשר לשנות את צורתו, ולמצוא בו שלמים. אם מחלצים משבר מדומה את כל השלמים שבו מתקבל מספר מעורב. למשל \frac{22}{7} אפשר לכתוב גם כ- 3\frac{1}{7}. האלגוריתם לביצוע המעבר הזה הוא פשוט חילוק: למשל \frac{22}{7} הופכים למספר מעורב על ידי ביצוע פעולת החילוק 22:7, מה שנותן 3 עם שארית 1. מכיוון שכדי להשלים את פעולת החילוק יש לחלק גם את השארית ב-7, מתקבל 3\frac{1}{7}.

הפיכת מספר מעורב לשבר מדומה[עריכת קוד מקור | עריכה]

כדי להפוך את 3\frac{1}{7} לשבר מדומה יש להכפיל את המכנה-(7) במספר היחידות-(3)=21 ולהוסיף את השבר-(\frac{1}{7}). המספר 3\frac{1}{7} הוא 1+21 שביעיות, כלומר \frac{22}{7}.

שוויון בין שברים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בין שני שברים, \ \frac{a}{b} ו-\ \frac{c}{d} מתקיים שוויון אם ורק אם \ a \cdot d = b \cdot c .

הכפלה של המונה והמכנה של שבר נתון במספר שלם שונה מ-0 אינה משנה את ערכו. בנוסחה

\ \frac{a}{b}=\frac{c \cdot a}{c \cdot b}, לכל \ c \ne 0 שלם.

ארבע פעולות החשבון בשברים[עריכת קוד מקור | עריכה]

חיבור וחיסור[עריכת קוד מקור | עריכה]

כדי לחבר שני שברים, יש להביאם למכנה משותף, ותוצאת החיבור היא סכום המונים של השברים (לאחר הבאתם למכנה משותף) מחולק במכנה המשותף. המכנה המשותף המיידי הוא מכפלת שני המכנים. בנוסחה:

\ \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d}

דוגמה:

\ \frac{1}{6}+\frac{5}{21}=\frac{7+10}{42}=\frac{17}{42}.

בחיסור השיטה זהה, כשפעולת החיבור מוחלפת בפעולת החיסור. בנוסחה:

\ \frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{a \cdot d - c \cdot b}{b \cdot d}

דוגמה:

\ \frac{1}{6}-\frac{5}{21}=\frac{7-10}{42}=\frac{-3}{42}=-\frac{1}{14}.

כפל[עריכת קוד מקור | עריכה]

כפל של שני שברים זה בזה שווה למכפלת המונים חלקי מכפלת המכנים. בנוסחה:

\ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d}

דוגמה:

\ \frac{2}{6} \cdot \frac{5}{7}=\frac{2 \cdot 5}{6 \cdot 7}=\frac{10}{42}=\frac{5}{21}.

חילוק[עריכת קוד מקור | עריכה]

חילוק של שבר א' בשבר ב' שווה למכפלה של שבר א' בהופכי של שבר ב'. בנוסחה:

\ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d}=\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}=\frac{a \cdot d}{b \cdot c}

דוגמה:

\ \frac{2}{3} \div \frac{5}{7}=\frac{2}{3} \cdot \frac{7}{5}=\frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 5}=\frac{14}{15}.

שבר עשרוני[עריכת קוד מקור | עריכה]

הצגה אחת של שברים נעשית באמצעות שבר עשרוני. השבר הפשוט, 1\over 2, למשל, מוצג בצורה 0.5 כשבר עשרוני. הנקודה המפרידה בין שני חלקיו של שבר הרשום בצורה כזו קרויה הנקודה העשרונית. משמאל לה נרשם חלקו השלם של המספר, ומימין לה נרשם חלק השבר של המספר. את הנקודה העשרונית, כפי שאנו מכירים אותה, הציג המתמטיקאי הסקוטי ג'ון נפייר בשנת 1617. בצורת רישום זו נשמרת שיטת הספירה העשרונית. על-כן, הספרה הראשונה מימין לנקודה מציינת כמות עשיריות, הספרה משמאל לה את כמות המאיות וכך הלאה.

שבר עשרוני שניתן להציגו במספר סופי של ספרות קרוי שבר סופי. השבר הסופי תמיד יהיה מספר רציונלי. שבר שבו המכנה מתפרק לגורמים ראשוניים מלבד 2 ו-5, אינו ניתן להצגה כשבר סופי. השבר הפשוט 1\over 3 נכתב כשבר עשרוני ...0.33333, כלומר הספרה 3 חוזרת בו עד אינסוף. השבר הפשוט 1\over 7 נכתב בצורה ...0.142857 כאשר רצף הספרות 142857 חוזר שוב ושוב, עד אינסוף. שבר כזה, שבו יש רצף של ספרות החוזר שוב ושוב קרוי שבר מחזורי. המחזור אינו מתחיל בהכרח בספרה הראשונה שמימין לנקודה העשרונית - השבר 1\over 6, למשל, נכתב בצורה ...0.16666, כלומר המחזור שלו כולל את הספרה 6, שמופיעה החל מהמקום השני מימין לנקודה. לציון החלק המחזורי יש הנוהגים להשתמש בקו מחבר מעל הספרות המרכיבות את המחזור, למשל:

\frac{1}{3} = 0.333333\dots = 0.\overline{3}
\frac{1}{6} = 0.16666\dots = 0.1\overline{6}
\frac{1}{7} = 0.142857\dots = 0.\overline{142857}

כל מספר רציונלי, כלומר כל מספר הניתן להצגה כמונה חלקי מכנה, ניתן להצגה כשבר עשרוני בעל מספר סופי של ספרות או כשבר עשרוני מחזורי.

ייצוג מספרים בשיטה זו, שבה נקודה מפרידה בין החלק השלם לחלק השבר של המספר, אפשרי בכל בסיס, ולאו דווקא בבסיס עשרוני. המספר 10.1 בבסיס בינארי, למשל, שקול ל-2.5 בבסיס עשרוני.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]