מספר הופכי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

מספר הופכי למספר נתון הוא מספר שמכפלתו במספר הנתון שווה לאחד (איבר היחידה ביחס לכפל). דוגמה: המספר ההופכי של 3 הוא {1\over 3}, והמספר ההופכי של {1\over 3} הוא 3. זו תכונה כללית של מספר הופכי, ולכן ניתן לדבר על זוג מספרים הופכיים, שהם זוג מספרים שכל אחד מהם הוא ההופכי של משנהו. כלומר, היחס "הופכי" מוגדר כיחס סימטרי.

מסמנים את המספר ההופכי ל-x כך:

x^{-1}={1\over x}

קיים דמיון מסוים בין מושג זה לבין המושג מספר נגדי.

הופכי קיים לא רק בכפל רגיל, אלא גם בחשבון מודולרי כאשר בסיס המודול הוא מספר ראשוני. למשל, בחשבון מודולו 7, ההופכי של 3 הוא 5 (כי 15 שקול ל-1 מודולו 7). הופכי כזה נקרא הופכי כפלי מודולרי.

תכונות של מספרים הופכיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • לכל מספר (מלבד 0) קיים מספר הופכי אחד ויחיד.
  • 1 הוא ההופכי של 1.
  • ההופכי של כל מספר נתון מלבד 1 ו- 1-, שונה מהמספר הנתון.
  • ההופכי להופכי של מספר נתון - הוא המספר הנתון עצמו.

הסיבה של-0 אין הופכי היא שכפל של כל מספר באפס הוא אפס (ניתן להוכיח זאת ישירות מהתכונה שלפיה כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו, כלומר שאפס נייטרלי לחיבור), ועל כן לא קיים מספר שמכפלתו ב-0 תיתן 1.

איבר הופכי[עריכת קוד מקור | עריכה]

במבנה אלגברי כלשהו, ובפרט בחבורה, ההכללה של מושג המספר ההופכי היא מושג האיבר ההופכי: לכל איבר במבנה קיים איבר הופכי לו, כך שמכפלתם היא איבר היחידה של החבורה.

גם בחוג כללי, לכל איבר, פרט לאיבר היחידה ביחס לחיבור, יכול להתקיים הופכי ביחס לכפל. חוג קומוטטיבי, שלכל איבר ששונה מאפס בו קיים הופכי, נקרא שדה.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]