הגדרת הגבול לפי קושי – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־01:36, 7 ביוני 2020

הגדרת הגבול על פי קושי הנקראת לעיתים גם הגדרת הגבול באפסילון ודלתא ( $\varepsilon ,\delta$ ) היא הגדרה יסודית בחשבון אינפיניטסימלי היא פורמליזציה של המושג הגבול שניסח אוגוסטן לואי קושי בספרו "Cours d'Analyse". למרות שמעולם לא השתמש באפסילון ודלתא נהוג להשתמש בהם לטיעונים בהוכחות.

הגדרת הגבול ניתנה לראשונה כהגדרה רשמית על ידי ברנרד בולצאנו בשנת 1817, וההצהרה המודרנית המוחלטת סופקה בסופו של דבר על ידי קארל ויירשטראס^[1] ^[2]. הוא נתן ניסוח ריגוזורי לתפיסה הבלתי פורמלית שהביטוי התלוי (f(x מתקרב לערך L כאשר המשתנה x מתקרב לערך c אם ניתן להפוך את (f(x קרוב כרצוננו ל- L על ידי לקיחת x קרוב מספיק ל-c .

הגדרה

הגדרה: לפונקציה

f

יש גבול

L

בנקודה

a

אם לכל

\varepsilon >0

(קטן כרצוננו) קיים

\delta >0

כך שלכל

0<|x_{1}-a|,|x_{2}-a|<\delta

מתקיים

{\bigl |}f(x_{1})-f(x_{2}){\bigr |}<\varepsilon

.

היסטוריה

למרות שהיוונים בחנו את תהליך הגבול, כמו בשיטת בבל, כנראה שלא היה להם מושג הדומה לגבול המודרני^[3]. הצורך במושג הגבול עלה במאה ה-17 כאשר פייר דה פרמה ניסה למצוא את שיפוע קו המשיק בנקודה מסוימת $x$ של פונקציה כגון $f(x)=x^{2}$ . באמצעות כמות שאינה אפס, אך כמעט אפס, $E$ , פרמה ביצעה את החישוב הבא:

${\begin{aligned}{\text{slope}}&={\frac {f(x+E)-f(x)}{E}}\\&={\frac {(x+E)^{2}-x^{2}}{E}}\\&={\frac {x^{2}+2xE+E^{2}-x^{2}}{E}}\\&={\frac {2xE+E^{2}}{E}}=2x+E=2x.\end{aligned}}$

המפתח לחישוב שלמעלה הוא שמאחר ש- $E$ הוא לא אפס, אפשר לחלק $f(x+E)-f(x)$ ב- $E$ , אך מאחר ש- $E$ קרוב ל-0, $2x+E$ זה בעצם $2x$ ^[4]. גדלים כמו $E$ נקראים אינפיניטימליים . הבעיה בחישוב זה היא שמתמטיקאים מהתקופה לא הצליחו להגדיר בקפדנות גודל עם תכונות של $E$ ^[5] למרות שהיה נהוג 'להזניח' אינפיניטימליים גדולים יותר ונראה היה כי זה מניב תוצאות נכונות.

בעיה זו הופיעה שוב מאוחר במאה ה-17במרכז התפתחות האינפי שכן חישובים כמו של פרמה חשובים לחישוב נגזרות. אייזק ניוטון פיתח לראשונה חישוב באמצעות כמות אינפיניטסימלית הנקראת fluxion. הוא פיתח אותם בהתייחס לרעיון של "רגע קטן עד אינסוף בזמן..." ^[6] עם זאת, מאוחר יותר דחה ניוטון את הרעיון לטובת תיאוריית יחסים הקרובה להגדרת הגבול המודרנית בשימוש $\varepsilon {\text{–}}\delta$ . ^[6] יתרה מזו, ניוטון היה מודע לכך שגבול היחס בין כמויות נעלמות, אינו יחס כשלעצמו. כפי שכתב:

אותם יחסים אולטימטיביים ... אינם למעשה יחסים של כמויות אולטימטיביות, אלא גבולות ... אליהם הם יכולים להתקרב כל כך, שההבדל ביניהם קטן כמות נתונה...

בנוסף, ניוטון דיבר על גבולות במונחים הדומים להגדרת האפסילון-דלתא. ^[7] גוטפריד וילהלם לייבניץ פיתח אינפיניטסימל משלו וניסה לספק לו בסיס קפדני, אך הוא עדיין נתקל בחוסר שביעות רצון מכמה מתמטיקאים ופילוסופים. ^[8]

אוגוסטין-לואי קושי נתן הגדרה של גבול מבחינת מושג פרימיטיבי יותר שכינה "כמות מִשְׁתַּנֶּה". הוא מעולם לא נתן לגבול הגדרה של אפסילון-דלתא (Grabiner 1981). חלק מההוכחות של קושי מכילות אינדיקציות לשיטת האפסילון-דלתא. השאלה אם גישתו היסודית יכולה להיחשב כ"מבשרת" של ויישטראס היא נושא למחלוקת אקדמית. גראבינר טוען שכן, בעוד שוג'יבור (2005) לא. ^[9] נקאן מסיק שקושיויישטראס העניקו את אותו שם לתפיסות שונות של גבול. ^[10]

בסופו של דבר, הקרדיט ניתן לוויירשטראס ובולצאנו על מתן בסיס ריגוזורי לחישוב גבול בצורה המודרנית של $\varepsilon {\text{–}}\delta$ ^[11] ^[12]. לא היה עוד צורך להתייחס לאינפיניטסימל $E$ ^[13]

והחישוב של פרמה הפך לחישוב של הגבול הבא:

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

אין זה אומר שההגדרה המגבילה הייתה נקייה מבעיות. למרות שלא היה עוד צורך באינפיניטסימלים, היא חייבה את בניית שדה המספרים הממשיים על ידי ריכרד דדקינד^[14].

הערות שוליים

^ Grabiner, Judith V. (במרץ 1983), "Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus" (PDF), The American Mathematical Monthly, 90 (3): 185–194, doi:10.2307/2975545, JSTOR 2975545, אורכב מ-המקור (PDF) ב-2009-05-04, נבדק ב-2009-05-01 {{citation}}: (עזרה)
^ Cauchy, A.-L. (1823), "Septième Leçon – Valeurs de quelques expressions qui se présentent sous les formes indéterminées ${\frac {\infty }{\infty }},\infty ^{0},\ldots$ Relation qui existe entre le rapport aux différences finies et la fonction dérivée", Résumé des leçons données à l'école royale polytechnique sur le calcul infinitésimal, Paris, אורכב מ-המקור ב-2009-05-04, נבדק ב-2009-05-01, p. 44. {{citation}}: External link in |postscript= (עזרה)תחזוקה - ציטוט: postscript (link). Accessed 2009-05-01.
^ Stillwell, John (1989). Mathematics and its history. New York: Springer-Verlag. pp. 38–39. ISBN 978-1-4899-0007-4.
^ Stillwell, John (1989). Mathematics and its history. New York: Springer-Verlag. pp. 104. ISBN 978-1-4899-0007-4.
^ Stillwell, John (1989). Mathematics and its history. New York: Springer-Verlag. pp. 106. ISBN 978-1-4899-0007-4.
^ ¹ ² Buckley, Benjamin Lee (2012). The continuity debate : Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond and Peirce on continuity and infinitesimals. p. 31. ISBN 9780983700487.
^ Pourciau, B. (2001), "Newton and the Notion of Limit", Historia Mathematica, 28 (1): 18–30, doi:10.1006/hmat.2000.2301
^ Buckley, Benjamin Lee (2012). The continuity debate : Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond and Peirce on continuity and infinitesimals. p. 32. ISBN 9780983700487.
^ Grabiner, Judith V. (במרץ 1983), "Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus" (PDF), The American Mathematical Monthly, 90 (3): 185–194, doi:10.2307/2975545, JSTOR 2975545, אורכב מ-המקור (PDF) ב-2009-05-04, נבדק ב-2009-05-01 {{citation}}: (עזרה)
^ Nakane, Michiyo. Did Weierstrass's differential calculus have a limit-avoiding character? His definition of a limit in ε−δ style. BSHM Bull. 29 (2014), no. 1, 51–59.
^ Grabiner, Judith V. (במרץ 1983), "Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus" (PDF), The American Mathematical Monthly, 90 (3): 185–194, doi:10.2307/2975545, JSTOR 2975545, אורכב מ-המקור (PDF) ב-2009-05-04, נבדק ב-2009-05-01 {{citation}}: (עזרה)
^ Cauchy, A.-L. (1823), "Septième Leçon - Valeurs de quelques expressions qui se présentent sous les formes indéterminées ${\frac {\infty }{\infty }},\infty ^{0},\ldots$ Relation qui existe entre le rapport aux différences finies et la fonction dérivée", Résumé des leçons données à l'école royale polytechnique sur le calcul infinitésimal, Paris, אורכב מ-המקור ב-2009-05-04, נבדק ב-2009-05-01, p. 44. {{citation}}: External link in |postscript= (עזרה)תחזוקה - ציטוט: postscript (link).
^ Buckley, Benjamin Lee (2012). The continuity debate : Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond and Peirce on continuity and infinitesimals. p. 33. ISBN 9780983700487.
^ Buckley, Benjamin Lee (2012). The continuity debate : Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond and Peirce on continuity and infinitesimals. pp. 32–35. ISBN 9780983700487.

[grabiner-1] Grabiner, Judith V. (במרץ 1983), "Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus" (PDF), The American Mathematical Monthly, 90 (3): 185–194, doi:10.2307/2975545, JSTOR 2975545, אורכב מ-המקור (PDF) ב-2009-05-04, נבדק ב-2009-05-01 {{citation}}: (עזרה)

[2] Cauchy, A.-L. (1823), "Septième Leçon – Valeurs de quelques expressions qui se présentent sous les formes indéterminées ${\frac {\infty }{\infty }},\infty ^{0},\ldots$ Relation qui existe entre le rapport aux différences finies et la fonction dérivée", Résumé des leçons données à l'école royale polytechnique sur le calcul infinitésimal, Paris, אורכב מ-המקור ב-2009-05-04, נבדק ב-2009-05-01, p. 44. {{citation}}: External link in |postscript= (עזרה)תחזוקה - ציטוט: postscript (link). Accessed 2009-05-01.

[3] Stillwell, John (1989). Mathematics and its history. New York: Springer-Verlag. pp. 38–39. ISBN 978-1-4899-0007-4.

[4] Stillwell, John (1989). Mathematics and its history. New York: Springer-Verlag. pp. 104. ISBN 978-1-4899-0007-4.

[5] Stillwell, John (1989). Mathematics and its history. New York: Springer-Verlag. pp. 106. ISBN 978-1-4899-0007-4.

[ReferenceA-6] ¹ ² Buckley, Benjamin Lee (2012). The continuity debate : Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond and Peirce on continuity and infinitesimals. p. 31. ISBN 9780983700487.

[7] Pourciau, B. (2001), "Newton and the Notion of Limit", Historia Mathematica, 28 (1): 18–30, doi:10.1006/hmat.2000.2301

[8] Buckley, Benjamin Lee (2012). The continuity debate : Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond and Peirce on continuity and infinitesimals. p. 32. ISBN 9780983700487.

[grabiner2-9] Grabiner, Judith V. (במרץ 1983), "Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus" (PDF), The American Mathematical Monthly, 90 (3): 185–194, doi:10.2307/2975545, JSTOR 2975545, אורכב מ-המקור (PDF) ב-2009-05-04, נבדק ב-2009-05-01 {{citation}}: (עזרה)

[10] Nakane, Michiyo. Did Weierstrass's differential calculus have a limit-avoiding character? His definition of a limit in ε−δ style. BSHM Bull. 29 (2014), no. 1, 51–59.

[grabiner3-11] Grabiner, Judith V. (במרץ 1983), "Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus" (PDF), The American Mathematical Monthly, 90 (3): 185–194, doi:10.2307/2975545, JSTOR 2975545, אורכב מ-המקור (PDF) ב-2009-05-04, נבדק ב-2009-05-01 {{citation}}: (עזרה)

[12] Cauchy, A.-L. (1823), "Septième Leçon - Valeurs de quelques expressions qui se présentent sous les formes indéterminées ${\frac {\infty }{\infty }},\infty ^{0},\ldots$ Relation qui existe entre le rapport aux différences finies et la fonction dérivée", Résumé des leçons données à l'école royale polytechnique sur le calcul infinitésimal, Paris, אורכב מ-המקור ב-2009-05-04, נבדק ב-2009-05-01, p. 44. {{citation}}: External link in |postscript= (עזרה)תחזוקה - ציטוט: postscript (link).

[13] Buckley, Benjamin Lee (2012). The continuity debate : Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond and Peirce on continuity and infinitesimals. p. 33. ISBN 9780983700487.

[14] Buckley, Benjamin Lee (2012). The continuity debate : Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond and Peirce on continuity and infinitesimals. pp. 32–35. ISBN 9780983700487.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

	הערך נמצא בשלבי עבודה: כדי למנוע התנגשויות עריכה ועבודה כפולה, אתם מתבקשים שלא לערוך את הערך בטרם תוסר ההודעה הזו, אלא אם כן תיאמתם זאת עם מניח התבנית.
	אם הערך לא נערך במשך שבוע ניתן להסיר את התבנית ולערוך אותו, אך לפני כן רצוי להזכיר את התבנית למשתמש שהניח אותה, באמצעות הודעה בדף שיחתו.	שיחה

הערך נמצא בשלבי עבודה: כדי למנוע התנגשויות עריכה ועבודה כפולה, אתם מתבקשים שלא לערוך את הערך בטרם תוסר ההודעה הזו, אלא אם כן תיאמתם זאת עם מניח התבנית.
אם הערך לא נערך במשך שבוע ניתן להסיר את התבנית ולערוך אותו, אך לפני כן רצוי להזכיר את התבנית למשתמש שהניח אותה, באמצעות הודעה בדף שיחתו.