חשבון אינפיניטסימלי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

החשבון האינפיניטסימלי (בקיצור אינפי, נקרא גם חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי - חדו"א, ובאנגלית Calculus) הוא ענף של המתמטיקה שהתפתח מהאלגברה ומהגאומטריה ועוסק בהשתנותן של פונקציות. תחילתו בעבודותיהם של אייזק ניוטון ושל גוטפריד וילהלם לייבניץ, אם כי קדמו להם, בצעדים ראשונים לקראת תחום זה, בארו, דקארט, פרמה והויגנס.

[עריכה] עיקרי החשבון האינפיניטסימלי

מושגים עיקריים בחשבון האינפיניטסימלי הם הגבול, הנגזרת והאינטגרל, וכן עוסק תחום זה בטורים אינסופיים וברציפות של פונקציות.

לחשבון האינפיניטסימלי שני ענפים עיקריים:

חשבון דיפרנציאלי, העוסק בחישוב השיעור הרגעי של השינוי (הנגזרת) בערכי פונקציה בהתאם לשינוי בערכי המשתנים. חישוב הנגזרת מאפשר לקבוע את המשיק לפונקציה בכל נקודה, את המעבר מפונקציה המתארת מהירות לזו המתארת תאוצה ועוד. החשבון הדיפרנציאלי מאפשר את פיתוחם של קירובים דוגמת טור טיילור ושיטת ניוטון-רפסון.
חשבון אינטגרלי, העוסק בדרכים לחישוב האינטגרל של פונקציה. חישוב האינטגרל מאפשר לחשב את השטח הכלוא מתחת לעקום, וכן לחשב את שטח הפנים והנפח של גופים שונים.

המשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי קובע שגזירה (חישוב הנגזרת) ואינטגרציה (חישוב האינטגרל) הן פעולות הפוכות זו לזו. תגלית זו של ניוטון ולייבניץ (בנפרד, וכמעט באותו זמן) הביאה לשלל תוצאות לאחר שעבודותיהם התפרסמו.

מהחשבון האינפיניטסימלי התפתחו ענפי מתמטיקה נוספים: משוואות דיפרנציאליות, אנליזה וקטורית, טופולוגיה דיפרנציאלית ותורת המידה. לחשבון האינפיניטסימלי שימוש נרחב בפיזיקה ובהנדסה.

[עריכה] היסטוריה

אף שכבר ארכימדס השתמש בשיטות אינטגרציה, ורבים (בארו, פרמה, ואליס ואחרים) הגיעו לרעיון הנגזרת, יצירת החשבון האינפיניטסימלי כפי שהוא מוכר לנו כיום מיוחסת ללייבניץ ולניוטון, בסוף המאה ה-17. לייבניץ וניוטון, שכל אחד מהם פעל בתחום זה באופן עצמאי, הגיעו לתוצאות דומות. ניוטון סיפק שלל שימושים בפיזיקה, אך מערכת הסימונים שהציע לייבניץ התגלתה כגמישה יותר והיא שנעשתה נפוצה.

סר אייזק ניוטון

גוטפריד לייבניץ

בין לייבניץ לניוטון פרץ סכסוך מר על הבכורה ביצירה זו, וכתוצאה ממנו נוצר חיץ, במשך שנים רבות, בין הפעילות המתמטית בבריטניה לזו שבשאר אירופה. כתוצאה מכך התעכבה ההתפתחות של החשבון האינפיניטסימלי בבריטניה, ורק בתחילת המאה ה-19 אימצו הבריטים את מערכת המושגים והסימונים האירופית.

לייבניץ, ובייחוד ניוטון, ביססו את החדו"א על מושג ה"אינפיניטסימל" שהוא מספר ממשי "קטן באופן אינסופי". באופן יותר מדויק, ה"אינפיניטסימל" הוא גודל מתמטי (לא-שלילי) שקטן מכל מספר חיובי אך איננו אפס. גודל שכזה איננו יכול להיות מספר ממשי והוא מכיל סתירות עצמיות.

בעקבות מתקפה פילוסופית של ג'ורג' ברקלי ודייוויד יום על היסודות הלוגים של החשבון האינפיניסטימלי של ניוטון, היה צורך לבסס את התחום על יסודות לוגיים מוצקים.

במאה ה-19 הצליח המתמטיקאי הצרפתי אוגוסטין לואי קושי לבסס את מושג הגבול באמצעות גדלים ממשיים וסופיים בלבד. ההגדרות של קושי החליפו את השימוש במושג האינפיניסטימל בשימוש במספרים ממשיים שיכולים להיות "קטנים כרצוננו" או "גדולים כרצוננו". הגדרת הגבול של קושי נהפכה לאבן היסוד של התחום בצורתו המודרנית. את ביסוס תורת הגבולות והטופולוגיה של הישר הממשי ביצעו בנוסף לקושי גם קארל ויירשטראס ובולצאנו. תרמו גם לגראנז', דארבו ורימן. בצורתו החדשה, החשבון האינפיניסטימלי היה אמין יותר אך היה מבוסס כולו על תכונות המספרים הממשיים, מושג שהוגדר אז באופן גאומטרי. בסוף המאה ה-19, המתמטיקאים גיאורג קנטור ודדקינד בנו ייצוגים קונקרטיים למספרים הממשיים, שהתבססו על תורת הקבוצות, במטרה לבסס את המושגים המתמטיים על ידי מושג הקבוצה.

בתחילת המאה ה-20, נעשו מספר נסיונות על ידי כמה מתמטיקאים להכליל את מושג האינטגרל. וזאת מכיוון שהאינטגרל של רימן לוקה בכמה חסרונות. לדוגמה, אוסף הפונקציות שעליהן ניתן לבצע אינטגרציה לפי רימן אינו שלם לפי מספר נורמות טבעיות. ההכללה הטובה ביותר הייתה זו של אנרי לבג, אשר פיתח את תורת המידה (שבמרכזה מידת לבג שהיא מידה המכלילה את מושג האורך).

[עריכה] אנליזה מתמטית

אנליזה ("ניתוח") הוא יישום הכלים של החדו"א (ראשי-תיבות של חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, המכיל בין היתר את הנושאים: גבול, נגזרת ואינטגרל) לחקר גדלים מתמטיים שונים וההשתנויות שלהם.

להרבה ענפים במתמטיקה יש תחום אנליזה מתאים:

אנליזה ממשית: ניתוח של פונקציות ממשיות רגילות, בין היתר באמצעות תורת המידה.
אנליזה מרוכבת: ניתוח של פונקציות מרוכבות.
אנליזה וקטורית: ניתוח של פוטנציאל (פונקציה המקבלת וקטור ומחזירה סקלר) ושל שדה וקטורי (פונקציה המקבלת וקטור ומחזירה וקטור).
אנליזה פונקציונלית: ניתוח של אופרטורים ופונקציונלים, כלומר: העתקות שהארגומנט שלהן הוא פונקציה (והן מחזירות פונקציה אחרת או מספר סקלרי, בהתאמה).
אנליזה הרמונית: ניתוח של פונקציות באמצעות טורי פורייה.
אנליזה נומרית: ניתוח של פונקציות והשתנותן באמצעות קירובים נומריים.

[עריכה] קישורים חיצוניים

מיזמי קרן ויקימדיה
ספר לימוד בוויקיספר: חשבון אינפיניטסימלי

חשבון אינפיניטסימלי
מושגי יסוד:	חשבון אינפיניטסימלי \| סדרה \| גבול \| סדרת קושי \| טור \| אינפיניטסימל \| שדה המספרים הממשיים \| ערך מוחלט \| אי-שוויון המשולש \| אי-שוויון קושי-שוורץ
פונקציות:	פונקציה \| גרף פונקציה \| פונקציה לינארית \| פונקציה מונוטונית \| נקודת קיצון \| פונקציה קעורה \| פונקציה קמורה \| פונקציה רציפה \| רציפות במידה שווה \| נקודת אי רציפות \| נגזרת \| טור טיילור \| סדרת פונקציות \| התכנסות במידה שווה
משפטים:	משפט בולצאנו-ויירשטראס \| משפטי ויירשטראס \| משפט קנטור \| משפט ערך הביניים \|משפט פרמה \| משפט רול \| משפט הערך הממוצע של לגראנז' \| משפט הערך הממוצע של קושי \| משפט דארבו \| כלל השרשרת \| כלל הסנדוויץ' \| כלל לופיטל \| משפט שטולץ \| אריתמטיקה של גבולות
האינטגרל:	אינטגרל \| אינטגרל לא אמיתי \| המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי \| אינטגרציה בחלקים \| שיטות אינטגרציה
אנליזה מתקדמת:	פונקציה מרוכבת \| אנליזה וקטורית \| שיטת ניוטון-רפסון \| משוואה דיפרנציאלית \| טופולוגיה \| תורת המידה
אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - טופולוגיה - אנליזה מרוכבת - אנליזה פונקציונלית - תורת המידה