הגדרת הגבול לפי קושי

בכל פעם שנקודה $x$ נמצאת בתוך $\delta$ יחידות של $c$ אז $f(x)$ נמצאת בתוך $\varepsilon$ יחידות של $L$

הגדרת הגבול על פי קושי הנקראת לעיתים גם הגדרת הגבול באפסילון ודלתא ($\varepsilon ,\delta$) היא הגדרה יסודית בחשבון אינפיניטסימלי המהווה פורמליזציה של המושג גבול. הגדרה זו נוסחה על ידי אוגוסטן לואי קושי בספרו מ-1821, "קורס באנליזה" (Cours d'Analyse). אף על פי שקושי מעולם לא השתמש באפסילון ודלתא, נהוג להשתמש בהן לטיעונים בהוכחות.

הגדרת הגבול המקורית ניתנה לראשונה כהגדרה רשמית על ידי ברנרד בולצאנו בשנת 1817, ונוסחה באופן סופי על ידי קארל ויירשטראס. הוא נתן ניסוח ריגורוזי לתפיסה הבלתי פורמלית שהביטוי התלוי $f(x)$ מתקרב לערך $L$ כאשר המשתנה $x$ מתקרב לערך $c$ אם ניתן לקרב כרצוננו את $f(x)$ ל-$L$ על ידי לקיחת $x$ קרוב מספיק ל-$c$.

הגדרה

לפונקציה $f$ קיים גבול $L$ בנקודה $a$ אם לכל $0<\varepsilon$ קיים $0<\delta$ כך שאם $0<|x-a|<\delta$ אזי ${\bigl |}f(x)-L{\bigr |}<\varepsilon$.

בכתיב מתמטי:

$$\lim _{x\to a}f(x)=L\in \mathbb {R} \iff \forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0:0<|x-a|<\delta \implies \displaystyle {\bigl |}f(x)-L{\bigr |}<\varepsilon$$

הסבר אינטואיטיבי

במילים אחרות, נאמר שהגבול של פונקציה $f(x)$, שווה ל־$L$, כאשר $x$ שואף ל־$a$ ($\lim _{x\to a}f(x)=L\,$), אם נוכל להביא את $f(x)$ קרוב ל־$L$ ככל שנרצה, אם ניקח $x$ קרוב מספיק ל־$a$ שאינו שווה ממש ל־$a$.

כשאנו אומרים ששני מושגים "קרובים", כמו $f(x)$ ל־$L$ או $x$ ל-$a$, אנו מתכוונים שההפרש (או המרחק) ביניהם הוא קטן כרצוננו. כאשר $f(x)$, $L$, $x$ ו־$a$ הם מספרים ממשיים, המרחק בין שני מספרים הוא הערך המוחלט של ההפרש בין השניים. לפיכך, כאשר אנו אומרים ש־$f(x)$ קרוב ל־$L$ אנו מתכוונים ש-$|f(x)-L|$ קטן כרצוננו וכשאנו אומרים ש־$x$ ו־$a$ קרובים, אנחנו מתכוונים ש-$|x-a|$ קטן כרצוננו.

כשאנו אומרים שנוכל לקרב כרצוננו את $f(x)$ ל־$L$, אנו מתכוונים שעבור כל מרחק $\varepsilon$, שאינו אפס, אנו יכולים להפוך את המרחק בין $f(x)$ ל־$L$ ($|f(x)-L|$) לקטן מ־$\varepsilon$.

כשאנו אומרים שנוכל לקרב כרצוננו את $f(x)$ ל־$L$ על ידי הדרישה ש-$x$ צריך להיות מספיק קרוב, אבל לא בדיוק $a$, אנו מתכוונים לכל מרחק $\varepsilon$ שאינו אפס, יש מרחק $\delta$ שאינו אפס, כך שאם המרחק בין $x$ ל-$a$ הוא פחות מ-$\delta$ אז המרחק בין $f(x)$ ל-$L$ קטן מ- $\varepsilon$ .

היסטוריה

גרף הפונקציה $f(x)=x^{2}$

אף על פי שהיוונים בחנו את תהליך הגבול, כמו בשיטה הבבלית לחישוב שורש ריבועי, נראה שלא היה להם מושג הדומה לגבול המודרני. הצורך במושג הגבול עלה במאה ה-17 כאשר פייר דה פרמה ניסה למצוא את השיפוע קו המשיק בנקודה מסוימת של פונקציה באמצעות גודל שאינו אפס, אך כמעט אפס. כמקובל, השיפוע מסומן באות $m$, הפונקציה מסומנת באות $f$, הנקודה מסומנת באות $x$ והגודל האפסי מסומן באות $E$. למשל עבור הפונקציה $f(x)=x^{2}$ פרמה ביצע את החישוב הבא:

$${\begin{aligned}m&={\frac {f(x+E)-f(x)}{E}}\\&={\frac {(x+E)^{2}-x^{2}}{E}}\\&={\frac {x^{2}+2xE+E^{2}-x^{2}}{E}}\\&={\frac {2xE+E^{2}}{E}}=2x+E=2x.\end{aligned}}$$

המפתח לחישוב שלמעלה הוא שמאחר ש-$E$ הוא לא אפס, אפשר לחלק את $f(x+E)-f(x)$ ב-$E$, אך מאחר ש-$E$ קרוב כרצוננו ל-$0$, אז $2x+E$ זה בעצם $2x$. גדלים כמו $E$ נקראים אינפיניטסימלים. הבעיה בחישוב זה היא שמתמטיקאים מהתקופה לא הצליחו להגדיר באופן ריגוזורי גודל עם התכונות של $E$. אף על פי שהיה נהוג 'להזניח' אינפיניטימליים גדולים יותר ונראה היה כי זה מניב תוצאות נכונות.

בעיה זו הופיעה שוב מאוחר יותר במאה ה-17 במרכז התפתחות החשבון האינפיניטסימלי, שכן חישובים כמו של פרמה נחוצים לחישוב נגזרות. אייזק ניוטון פיתח לראשונה חישוב באמצעות גודל אינפיניטסימלי הנקרא fluxion. הוא פיתח אותו בהתייחס לרעיון של "רגע קטן עד אינסוף בזמן..." עם זאת, מאוחר יותר דחה ניוטון את הרעיון לטובת תאוריית יחסים הקרובה להגדרת הגבול המודרנית בשימוש $\varepsilon {\text{–}}\delta$. יתרה מזו, ניוטון היה מודע לכך שגבול היחס בין גדלים אינפיניטסימלים אינו יחס כשלעצמו, כפי שכתב:

”אותם יחסים סופיים... למעשה אינם יחסים של גדלים סופיים, אלא גבולם... אליהם הם יכולים להתקרב כל כך, עד שההבדל ביניהם קטן יותר מכל גודל נתון...”^{[דרוש מקור]}

בנוסף, ניוטון דיבר על גבולות במונחים הדומים להגדרת האפסילון-דלתא. גוטפריד וילהלם לייבניץ פיתח אינפיניטסימל משלו וניסה לספק לו בסיס ריגורוזי, אך הוא עדיין נתקל בחוסר שביעות רצון מצד כמה מתמטיקאים ופילוסופים.

לאוגוסטן לואי קושי הייתה תפיסה מעט פרימיטיבית יותר, והוא נתן הגדרה לגבול באמצעות מונח אותו כינה "גודל מִשְׁתַּנֶּה", ולא באמצעות אפסילון-דלתא. חלק מההוכחות של קושי מכילות אינדיקציות לשיטת האפסילון-דלתא. השאלה אם גישתו היסודית יכולה להיחשב כ"מבשרת" של ויישטראס היא נושא למחלוקת אקדמית. גראבינר טוען שכן, בעוד שוג'יבור (2005) לא. נקאן טוען שוויישטראס וקושי העניקו את אותו השם לתפיסות שונות של מושג הגבול. בסופו של דבר, הקרדיט ניתן לוויירשטראס ובולצאנו על מתן בסיס ריגוזורי לחישוב גבול בצורה המודרנית של $\varepsilon {\text{–}}\delta$.. מאז לא היה עוד צורך להתייחס לאינפיניטסימל $E$ והחישוב של פרמה הפך לחישוב של הגבול הבא:

$$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$$

אין זה אומר שהגדרת הגבול הייתה נקייה מבעיות. אף על פי שלא היה עוד צורך באינפיניטסימלים, היא חייבה את בניית שדה המספרים הממשיים על ידי ריכרד דדקינד. זה גם לא אומר שלאינפיניטסימלים אין יותר מקום במתמטיקה המודרנית, שכן מתמטיקאים מאוחרים יותר הצליחו ליצור באופן ריגוזורי גדלים אינפיניטסימלים כמספרים היפר־ממשיים או כמספרים סוריאליסטיים. יתרה מזאת, ניתן לפתח באופן ריגוזורי חשבון עם גדלים כאלה ויש להם שימושים מתמטיים אחרים.

דוגמאות

דוגמה 1

גרף הפונקציה $x\sin {\left({\frac {1}{x}}\right)}$ בסביבת אפס

נראה כי $\lim _{x\to 0}x\sin {\left({\frac {1}{x}}\right)}=0$.

יהי $0<\varepsilon$. עלינו למצוא $0<\delta$ כך שלכל $|x-0|<\delta$ מתקיים $\left|x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)-0\right|<\varepsilon$.

נשים לב כי:

$\left|x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)\ -\ 0\right|\ =\left|x\sin \ \left({\frac {1}{x}}\right)\right|$

מתכונות ערך מוחלט:

$\ \left|x\ \cdot \sin \ \left({\frac {1}{x}}\right)\right|\ =\ |x|\left|\sin \left({\frac {1}{x}}\right)\right|\ <\varepsilon$

מכיוון שפונקציית הסינוס חסומה בין 1 ל-1-, הערך המוחלט שלה חסום בין 0 ל-1 ולכן:

$\ |x|\left|\sin \left({\frac {1}{x}}\right)\right|\ \leq |x|\cdot 1=|x|<\varepsilon$

לפיכך, אם ניקח $\delta =\varepsilon$, אז $|x|=|x-0|<\delta$, ומתקיים $\left|x\sin {\left({\frac {1}{x}}\right)}-0\right|\leq |x|<\varepsilon$. מש"ל.

דוגמה 2

נוכיח $\lim _{x\to a}x^{2}=a^{2}$ עבור כל $a\in \mathbb {R}$.

יהי $\varepsilon >0$. עלינו למצוא $\delta >0$ כך שלכל $|x-a|<\delta$ מתקיים $|x^{2}-a^{2}|<\varepsilon$.

נתחיל בפישוט: $|x^{2}-a^{2}|=|(x-a)(x+a)|=|x-a||x+a|$.

נראה כי הביטוי $|x-a|$ חסום על ידי $\delta$, כך שנוכל להניח מראש חסם של 1 ובהמשך לבחור משהו קטן מזה עבור $\delta$.

אז אנחנו מניחים $|x-a|<1$ . ידוע שלכל $x$ ו־$y$ ממשיים מתקיים: $|x|-|y|\leq |x-y|$. ובפרט, $|x|-|a|\leq |x-a|<1$ לכן, $|x|<1+|a|$.

לפי אי-שוויון המשולש מתקיים: $|x+a|\leq |x|+|a|<1+|a|+|a|=2|a|+1$ לפיכך, אם אנו מניחים כי$|x-a|<{\frac {\varepsilon }{2|a|+1}}$ אז $|x^{2}-a^{2}|<\varepsilon$.

לסיכום, נקבע $\delta =\min {\left(1,{\frac {\varepsilon }{2|a|+1}}\right)}$

ולכן אם $|x-a|<\delta$, אז:

${\begin{aligned}|x^{2}-a^{2}|&=|x-a||x+a|\\&<{\frac {\varepsilon }{2|a|+1}}(|x+a|)\\&<{\frac {\varepsilon }{2|a|+1}}(2|a|+1)\\&=\varepsilon \end{aligned}}$

לפיכך, מצאנו $\delta$ כך ש־$|x-a|<\delta$ ולכן $|x^{2}-a^{2}|<\varepsilon$ . אם כן, הראינו כי $\lim _{x\to a}x^{2}=a^{2}$ עבור כל מספר ממשי $a$.

דוגמה 3

נוכיח כי $\lim _{x\to 5}(3x-3)=12$

אנו רוצים להראות זאת $|\left(3x-3\right)-12|<\varepsilon \Leftarrow 0<|x-5|<\delta$.

נשים לב כי $|\left(3x-3\right)-12|=|3x-15|$, כלומר נדרש $|3x-15|\leq \varepsilon$. נחלק ב-3: $|x-5|<{\frac {\varepsilon }{3}}$ ונקבל את התוצאה הרצויה - $\delta ={\frac {\varepsilon }{3}}$. מש"ל.

לקריאה נוספת

• ג׳ודית גרבינר, The Origins of Cauchy's Rigorous Calculus, בהוצאת Courier Corporation, ISBN 978-0-486-14374-3, ‏1982 (באנגלית)
• גרט שוברינג, Conflicts Between Generalization, Rigor, and Intuition, בהוצאת שפרינגר, מסת"ב 978-0-387-22836-5, ‏2005 (באנגלית)