אופרטור הצפיפות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בפיזיקה, אופרטור הצפיפות הוא אופרטור לינארי המשמש לטיפול בתכונות סטטיסטיות של מערכת קוונטית. ההצגה המטריציונית של אופרטור הצפיפות בבסיס כלשהו מכונה מטריצת צפיפות.

הפורמליזם של אופרטור הצפיפות הוצג על ידי ג'ון פון נוימן בשנת 1927.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

אופרטור הצפיפות הוא כלי מתמטי שנועד לטיפול במערכת קוונטית הנמצאת במצב מעורב (mixed state), כלומר צבר של מערכות הנמצאות במצבים קוונטים שונים המתפלגים סטטיסטית. זאת בניגוד למערכת הנמצאת במצב טהור (pure state). אופרטור הצפיפות יכול לשמש גם לטיפול במערכת שהמצב שלה אינו ידוע בוודאות.

נניח שהמערכת יכולה להמצא בכל אחד מן המצבים |\psi_i\rangle[1], כאשר ההסתברות להמצא במצב |\psi_i\rangle נתונה על ידי \ w_i . אופרטור הצפיפות עבור מערכת זו מוגדר על ידי

\hat\rho = \sum_i w_i |\psi_i\rangle\langle \psi_i |

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • אופרטור הצפיפות הוא אופרטור הרמיטי.
  • לאופרטור הצפיפות עקבה 1:  tr(\hat\rho)= 1 . כמו כן מתקיים  tr(\hat\rho^2)\le1 כאשר שוויון מתקבל עבור מערכת במצב טהור.
  • במצב טהור אופרטור הצפיפות הוא אופרטור הטלה, כלומר מקיים \hat\rho^2=\hat\rho.
  • ההתפתחות בזמן של אופרטור הצפיפות נתונה על ידי:

i\hbar \frac{\partial \hat\rho}{\partial t} = -[\hat\rho,\mathcal{H}][2]

שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

השימוש העיקרי של אופרטור הצפיפות הוא חישוב ערכי תצפית של גדלים פיזיקליים.

ערך התצפית, כלומר הערך הממוצע המתקבל במדידת גודל פיזיקלי המתואר על ידי אופרטור \ A נתון על ידי:

 \lang A\rang = \sum_i w_i \lang \psi_i | A | \psi_i \rang = tr(\hat \rho A)

ביטוי זה מכיל מיצוע כפול - על ההסתברות למציאת המערכת או החלקיק במצב |\psi_i\rang , ועל תוצאות המדידה האפשריות עבור מצב זה.

מכניקה סטטיסטית קוונטית[עריכת קוד מקור | עריכה]

בעזרת אופרטור הצפיפות ניתן לטפל בתכונות סטטיסטיות של מערכות קוונטיות - מכניקה סטטיסטית קוונטית. את הגודל הבסיסי של הפיזיקה הסטטיסטית, האנטרופיה, ניתן להביע בעזרת אופרטור הצפיפות באופן הבא:

 S = -k_B tr (\hat \rho \ln \hat\rho) .

האנטרופיה של מצב טהור שווה לאפס, ואילו עבור מצב מעורב האנטרופיה גדולה מאפס.

עבור מערכת בשיווי משקל תרמודינמי, ניתן לכתוב את אופרטור הצפיפות על פי הצבר הרלוונטי. כך לדוגמה, עבור מערכת קנונית,  \hat \rho=\frac{1}{Z} e^{-\beta\mathcal{H}} , כאשר  \mathcal{H} הוא ההמילטוניאן ו-Z=tr(e^{-\beta\mathcal{H}}) היא פונקציית החלוקה.

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נתבונן במערכת של חלקיקים בעלי ספין 1/2. נניח כי 80% מהחלקיקים במצב |\uparrow_z\rang (ספין up בכיוון z) והשאר במצב |\downarrow_x\rang (ספין down בכיוון x). אופרטור הצפיפות המתאר את המערכת הוא:

\hat \rho= 0.8|\uparrow_z\rang\lang\uparrow_z|+0.2|\downarrow_x\rang\lang\downarrow_x|

המטריצה המתאימה לאופרטור כאשר עובדים בבסיס המצבים העצמיים של S_z היא:


\rho = \begin{pmatrix}
0.9&-0.1\\
-0.1&0.1
\end{pmatrix}

ערך התצפית של מדידת הספין בכיוון x יהיה:


\lang S_x \rang = tr(S_x\rho) = \frac{\hbar}{2}tr
\begin{pmatrix}
-0.1&0.1\\
0.9&-0.1
\end{pmatrix}=-0.1\hbar

כלומר, קיבלנו שערך התצפית של S_x הוא -\frac{\hbar}{2} (הערך של פעולת S_x על |\downarrow_x\rang) כפול ההסתברות לקבל אותו (0.2).

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ מצבים אלו אינם חייבים להיות אורתוגונליים או דיסקרטיים, ומספרם יכול להיות גדול ממימד מרחב המצבים
  2. ^ שימו לב לסימן המינוס ביחס למשוואת התנועה של אופרטור בתמונת הייזנברג

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • Claude Cohen-Tannoudji, Quauntum Mechanics (Complement EIII)
  • J.J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics (פרק 3.4)
  • R.K. Pathria, Statistical Mechanics (פרק 5.1)