אנטרופיה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

אֶנְטְרוֹפּיה היא אחד הגדלים המאפיינים מערכת פיזיקלית. קיימות הגדרות שונות לאנטרופיה, אך לפי כל ההגדרות, היא מקיימת (בסבירות גבוהה, לכל הפחות) את החוק השני של התרמודינמיקה: במערכת סגורה, סך האנטרופיה לא יכול לקטון.

בתרמודינמיקה, האנטרופיה היא פונקציית מצב המסייעת לתאר מעברי חום. כמו כן, מהחוק השני של התרמודינמיקה נובע כי תהליך אדיאבטי (כלומר, תהליך בו המערכת לא מחליפה חום עם הסביבה) המתקיים במערכת הוא הפיך אם ורק אם האנטרופיה של המערכת נשארת קבועה. במכניקה סטטיסטית, האנטרופיה מתארת עבור מצב מקרוסקופי מסוים את מספר המצבים המיקרוסקופיים השונים בהם הוא מתקיים. עבור מערכות גדולות מספיק, שני המושגים מתלכדים.

אנטרופיה היא גודל אקסטנסיבי. כלומר, אם שתי מערכות זהות יאוחדו, ערך האנטרופיה של המערכת החדשה יהיה כפול מערך האנטרופיה של כל אחת מהמערכות המקוריות.

בתרמודינמיקה[עריכת קוד מקור | עריכה]

מושג האנטרופיה קשור למעבר חום, ולכן בתרמודינמיקה הקלאסית מוגדר רק השינוי \ dS בכמות האנטרופיה של מערכת, בעזרת כמות החום \ \delta Q שהמערכת מקבלת (או מאבדת, בהתאם לסימן), והטמפרטורה המוחלטת של המערכת \ T:

dS = \frac{\delta Q}{T}

הערה - חשוב לציין שמדובר בשינוי דיפרנציאלי של אנטרופיה ולא באנטרופיה עצמה. אם החום עובר בין שתי מערכות באותה טמפרטורה, האנטרופיה שהמערכת הראשונה מוסרת שווה לאנטרופיה שהמערכת השנייה מקבלת, והתהליך הוא הפיך (רברסבילי). אולם לרוב החום זורם ממערכת בטמפרטורה גבוהה \ T_{h}, למערכת בטמפרטורה נמוכה \ T_{l}. לכן האנטרופיה שהמערכת בטמפרטורה הנמוכה מקבלת:

\ dS_l = \frac{\delta Q}{T_l}

גדולה מהאנטרופיה שהמערכת בטמפרטורה הגבוהה מאבדת:

\ dS_h = \frac{\delta Q}{T_h}

כלומר האנטרופיה הכוללת גדלה:


dS_l - dS_h = 
\delta Q
\left(
 \frac{1}{T_l}-\frac{1}{T_h}
\right)
>0

זהו למעשה החוק השני של התרמודינמיקה, שקובע שסה"כ האנטרופיה במערכת מבודדת יכולה להשאר קבועה או לגדול. משמעותו של חוק זה היא שחום לא יכול לזרום באופן ספונטאני בין מערכת בטמפרטורה נמוכה למערכת בטמפרטורה גבוהה. הבנה יותר עמוקה של הסיבות לכך, כמו גם של מושג האנטרופיה עצמו, הושגה רק עם פיתוח המכניקה הסטטיסטית.

מושג האנטרופיה והחוק השני נותנים את ההגבלה על היעילות של מנוע חום, שניתנת על ידי חוק קרנו.

במכניקה סטטיסטית[עריכת קוד מקור | עריכה]

מושג האנטרופיה עומד בבסיס המכניקה הסטטיסטית. לודוויג בולצמן קשר אותה למספר המצבים המיקרוסקופיים השונים \ \Omega שיכולים לתת אותו מצב מקרוסקופי:

\ S = k_{\!B} \ln \Omega

כאשר kB הוא קבוע בולצמן.

לדוגמה נסתכל על ארבעה מטבעות ממוספרים שיכולים להיות ב"עץ" או ב"פאלי". כל מצב מקרוסקופי יאופיין על ידי סה"כ מספר המטבעות שנמצאים ב"עץ". מצב מיקרוסקופי יאופיין על ידי איזה צד כל אחד מהמטבעות נמצא בו:

מצב
מקרוסקופי
0 עץ
4 פלי
1 עץ
3 פלי
2 עץ
2 פלי
3 עץ
1 פלי
4 עץ
0 פלי
מצבים
מיקרוסקופיים
פפפפ עפפפ
פעפפ
פפעפ
פפפע
עעפפ
עפעפ
עפפע
פעעפ
פעפע
פפעע
עעעפ
עעפע
עפעע
פעעע
עעעע
Ω 1 4 6 4 1

באופן אינטואיטיבי, אנו מרגישים שבמצב המקרוסקופי "2 עץ, 2 פאלי" יש יותר "אי סדר" מאשר במצב "0 עץ 4 פאלי". ההגדרה של בולצמן לאנטרופיה מכמתת הרגשה זו.‏[1]

למרות שבמערכות בהן עוסקת המכניקה הסטטיסטית, מדובר על מספר חלקיקים גדול הרבה יותר, בסביבות מספר אבוגדרו, אפשר להשתמש בדוגמה פשוטה זו בשביל להדגים גם את החוק השני של התרמודינמיקה, על ידי שניקח שתי מערכות כאלה ונחבר אותן. אם שתי המערכות היו מלכתחילה כל אחת במצב המקרוסקופי "2 עץ, 2 פאלי" , הרי עכשיו המערכת המאוחדת תהיה במצב המקרוסקופי "4 עץ, 4 פאלי".


S_{12} = k_{\!B} \ln  {8 \choose 4}    = k_{\!B} \ln  70 
\approx 2  k_{\!B} \ln {4 \choose 2}  = S_1 + S_2
.

זו דוגמה למצב בו האנטרופיה לא השתנתה (השינוי הקטן שקיים, הוא בגלל שכאמור המערכות בדוגמה לא מספיק גדולות).

לעומת זאת, אם חיברנו מערכת במצב "0 עץ 4 פאלי" למערכת במצב "4 עץ 0 פאלי", שוב נקבל מערכת מאוחדת במצב "4 עץ, 4 פאלי". אולם הפעם:


S_{12} = k_{\!B} \ln  {8 \choose 4}  = k_{\!B} \ln  70 >> 
  2k_{\!B} \ln   {4 \choose 0}  = S_1 + S_2 
.

כלומר האנטרופיה גדלה. יתר על כן, השינוי הזה הוא בלתי הפיך, כי אם ניקח עכשיו את המערכת הגדולה, ונחלק אותה חזרה לשתי מערכות קטנות באופן אקראי, רוב הסיכויים הם שבכל אחת מהמערכות הקטנות נקבל את המצב בו האנטרופיה היא מקסימלית. כך בדוגמה שלפנינו יש סיכוי של 1:16 לקבל בחזרה את המצב המקורי לעומת 6:16 לקבל בכל אחד מצב "2 עץ, 2 פאלי". במערכות גדולות יותר, בהן יש למשל 2N מטבעות מירב הסיכויים הם לקבל בצורה כזו עבור מספר מטבעות ה"עץ" ערך בסביבה


N  \pm \sqrt N
.

דוגמה יותר ריאליסטית היא של שני מכלי גז בטמפרטורות שונות. נחבר ביניהם, וניתן למערכת להגיע לשיווי משקל. אי אפשר יהיה על ידי חלוקה של המערכת לשניים בחזרה להגיע להפרש הטמפרטורות, אלא אם כן ישב שד מקסוול במעבר ביו שני חלקי המערכת וייתן רק למולקולות איטיות לעבור מימין לשמאל, ורק למהירות לעבור משמאל לימין.

במערכת שיכולה להיות במצבים שונים[עריכת קוד מקור | עריכה]

מקרה חשוב הוא מקרה של מערכת שיכולה להיות במצבים שונים. לדוגמה אטום בו האלקטרון יכול להיות בכל אחת מרמות האנרגיה של האטום. הסיכוי להיות במצב \ r נתון על ידי \ P_{r}. בשביל לחשב את האנטרופיה של המערכת צריך לחשוב על צבר של \ N מערכות זהות (כאשר \ N גדול מאוד). מספר המערכות \ N_{r} שנמצאות במצב \ r הוא:


N_r \approx N P_r

על פי הגדרת האנטרופיה במכניקה הסטטיסטית, האנטרופיה של הצבר כולו תחושב על פי מספר האפשרויות השונות בו ניתן לסדר אותו כך שאכן בכל מצב יהיו Nr מערכות:

S_{ens} = k_{\!B} \ln \frac{N!}{ \prod_{r}N_r!}

על ידי שימוש בקירוב סטירלינג

 \ln {n!} \approx  n \ln{n} -n

מתקבל הביטוי שמביע את האנטרופיה של המערכת על ידי הסיכוי שלה להיות בכל אחד מהמצבים

S =\frac{ S_{ens}}{N}= -k_{\!B} \sum_{r} P_r \ln{P_r}

האנטרופיה היא אפס כאשר המערכת נמצאת בוודאות במצב אחד, והיא הגבוהה ביותר כאשר הסיכוי להיות בכל מצב הוא שווה.

אנטרופיה של חורים שחורים[עריכת קוד מקור | עריכה]

גם לחור שחור צריכה להיות אנטרופיה. אחרת, אפשר יהיה לזרוק לתוכו חומר שלו אנטרופיה גבוהה, ובכך להוריד את האנטרופיה הכוללת ביקום, בניגוד לחוק השני של התרמודינמיקה. הפיזיקאי הישראלי יעקב בקנשטיין היה הראשון שהציע בשנת 1970 לייחס אנטרופיה לחור שחור. הוא הציע, על סמך הגילוי של סטיבן הוקינג כי השטח הכולל של אופק האירועים כתוצאה ממיזוג בין חורים שחורים לא יכול לקטון, שהאנטרופיה של חור שחור הינה פרופורציונלית לשטח אופק האירועים שלו.

בתחילה, התקבלה טענתו בביטול בקהילייה המדעית, כולל מצד הוקינג עצמו, שכן אם לחור שחור יש אנטרופיה, אמורה להיות לו גם טמפרטורה, ואז הוא צריך לקרון כמו גוף שחור. אולם ב־1975 גילה הוקינג כי חור שחור יכול לפלוט קרינה, כתוצאה מזוגות חלקיקים וירטואליים הנוצרים קרוב לפני אופק האירועים שלו. קרינה זו נקראת קרינת הוקינג, וחישובים מתאימים הראו שקרינה זו אכן מתאימה לקיומה של אנטרופיה הפרופורציונלית לשטח החור השחור. בעקבות גילוי זה, נעשה הרעיון למקובל, ואנטרופיה זו מכונה אנטרופיית בקנשטיין־הוקינג.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ עם זאת, צריך לנקוט זהירות בקישור בין אנטרופיה לאי-סדר. קישור כזה בין המושגים עלול להוביל לשגיאות, כיוון שמושג אי-הסדר בתרמודינמיקה שונה מהמושג אי סדר במובנו היום-יומי. לדוגמה, אם ניקח חדר לא מסודר (מבולגן) ונסדר אותו, זו תהיה - מבחינה תרמודינמית - סדרה של תהליכים לא הפיכים, ועל כן האנטרופיה תעלה דווקא.