אי-יציבות פלטו-ריילי

במכניקת הזורמים, אי־יציבות פלטו-ריילי היא אי-יציבות שגורמת לכך שזרם מים צר שזורם בתנאי שפה חופשיים מתפרק לטיפות. התפרקות הזרם לטיפות שומרת על הנפח של הזורם, אבל מקטינה את שטח הפנים. התופעה נגרמת מכך שנוזלים, בהשפעת מתח הפנים, שואפים להקטין את שטח הפנים שלהם.

ניתן לצפות באי-היציבות כאשר פותחים את הברז בכיור לזרימה דקה. הזרם יתפרק לטיפות לפני שהוא יפגע בכיור. משתמשים באי יציבות זו כאשר מתכננים מדפסות הזרקת דיו בהם פרץ דיו הופך לטיפות.

היסטוריה

התופעה קרויה על שם ז'וזף פלטו ולורד ריילי. בשנת 1873 מצא פלטו בניסוייו שזרם מים הנופל אנכית יישבר לטיפות אם אורך הגל שלו גדול ממכפלת קוטרו פי 3.13–3.18. לאחר מכן ריילי הראה תאורטית כי זרם של נוזל לא צמיג הנופל אנכית יישבר כאשר אורך הגל שלו יעבור את היקפו, כלומר את מכפלת הקוטר ב-$\pi$.

תאוריה

שלב ביניים בשבירת זרם לטיפות. ניתן לראות את רדיוס הקמר. רדיוס הזרם נתון בביטוי $\scriptstyle R\left(z\right)=R_{0}+A_{k}\cos \left(kz\right)$

ככל חוסר יציבות הידרודינמית, חוסר היציבות מתחיל מהפרעות קטנות בנוזל. הפרעות כאלה תמיד קיימות, לא משנה עד כמה הנוזל חלק. את ההפרעה הראשונית ניתן לפרק לרכיבים מחזוריים על ידי התמרת פורייה. כעת ניתן לנתח באופן נפרד את כל אחד מאורכי הגל, ניתוח כזה מגלה שחלק מההפרעות גדלות בזמן וחלקן דועך. מבין אלה שגדלים בזמן, ישנם כאלה שגדלים מהר יותר, תלוי במספר הגל ובזרם. בהנחה שכל ההפרעות מתחילות עם אותן אמפליטודות, הזרם לאחר זמן יפתח הפרעה במספר גל שקרוב למספר הגל של הרכיב שגדל בקצב הגבוה ביותר. כעבור זמן, קוטר הזרם בנקודה מסוימת יגיע לאפס, והזרם יופרד לטיפות נפרדות.

אי-היציבות נובעת מכך שמתח הפנים דוחף את הזרם לטיפות ספריות שיקטינו את מתח הפנים, בעוד האינרציה דוחפת את הזרם לשמור על צורתו המקורית. אף שהבנה מלאה של התהליך דורשת פיתוח מתמטי, ניתן להבין אותו באופן איכותי מתוך התרשים בצד שמאל. נביט בשתי טבעות שמקיפות את הזרם (הטבעות בחלק התחתון של האיור): אחת ברוחב המרבי ("הזרם הרחב") ואחת ברוחב המזערי ("הזרם הצר"). בזרם הצר, רדיוס הזרם קטן יותר, וממשוואת יאנג-לפלס נובע כי הלחץ הנגרם על ידי מתח הפנים גדול. בדומה, בזרם הרחב הלחץ הנגרם על ידי מתח הפנים קטן. לו זו הייתה ההשפעה היחידה היינו מצפים שהלחץ הגבוה בזרם הצר ידחוף את הנוזל לאזור עם לחץ נמוך יותר ורדיוס רחב יותר. כלומר בחלק הצר של הזרם ישנו כוח שדוחף את הזרם להיות אפילו יותר צר, בדרך זו מבינים מדוע אמפליטודת הגל עולה בזמן. הכוח הזה דוחף את הזרימה, והאינרציה מתנגדת לו.

משוואת יאנג-לפלס מקשרת את הלחץ לעקמומיות הממוצעת בנקודה על השפה. במקרה של הזרם שמופיע בתרשים העקמומיות הממוצעת היא המיצוע בין העקמומית מרדיוס הזרם והעקמומיות של ההפרעה עצמה. נבחין בתרשים שעקמומיות זו שלילית בחלק הצר של הזרם, כלומר על פי משוואת יאנג לפלס הוא מקטין את הלחץ בזרם הצר. באותו אופן העקמומיות בחלק הרחב חיובית ומגדילה את הלחץ באזור. כלומר השפעת רכיבי העקמומיות האלה הפוכה מהשפעת רכיבי העקמומיות בזרם עצמו. שני האפקטים, ככלל, אינם מבטלים זה את לחלוטין. לאחד מהם יש השפעה גדולה יותר, תלוי במספר הגל וברדיוס ההתחלתי של הזרם. עבור תחום מסוים של מספרי גל, השפעת העקמומיות בגל גורמת לכך שהלחץ בחלק הרחב של הזרם יהיה גדול מהלחץ בזרם הצר והגל ידעך כעבור זמן. כאשר מספר הגל הוא כזה שהשפעת העקמומיות בזרם גדולה מהשפעת העקמומיות של הגל, הגל יגדל אקספוננציאלית בזמן. ניתן להראות מתמטית שהרכיבים שיגדלו בזמן הם רק אלה המקיימים שמכפלת מספר הגל ברדיוס ההתחלתי קטנה מאחת.

ניתוח מתמטי

ניתוח באמצעות אנליזה ממדית

את התובנות הראשוניות על התופעה ניתן לקבל מאנליזה ממדית. הגדלים שמשחקים תפקיד בבעיה הם רדיוס הזורם $R_{0}$ שהוא בעל ממדים של אורך, מתח הפנים $\gamma$, שהוא בעל יחידות של מסה חלקי זמן בריבוע, והצפיפות של הזורם $\rho$ שהיא בעלת יחידות של מסה לנפח. משלושת הגדלים האלה ניתן לבנות גודל יחיד בעל ממדים של זמן שהוא $T={\sqrt {\frac {\rho R_{0}^{3}}{\gamma }}}$. מניתוח זה ניתן לקבל שהמשוואה שמקשרת בין קצב הגדילה של ההפרעה $\omega$ ומספר הגל של ההפרעה $k$ היא חייבת לקיים את המשוואה $\omega T=F(kR_{0})$ עבור פונקציה כלשהי $F$. חישוב מלא של הפונקציה יוצג להלן, אולם לפני הצגתו ניתן לדון במספר תכונות של הפונקציה. ראשית, הפרעה בעלת $k=0$ לא יכולה לגדול מאחר שהגדלה שלה תפר את שימור המסה לכן - $F(0)=0$. שנית, כאשר מספר הגל קטן מאוד, רכיב העקמומיות שמגיע מהגל קטן מאוד, והוא פחות משמעותי מהעקמומיות שנובעת מרדיוס הזרם, לכן התאוריה שהוצגה לעיל צופה שהזרם יהיה לא יציב כלומר $F$ יהיה חיובי. לעומת זאת, כאשר $k$ גדול מאוד העקמומיות של הגל שמייצבת את ההפרעה משתלטת על העקמומיות של הזרם שגורמת לאי יציבות, ולכן בתחום זה ההפרעה לא יכולה לגדול ו-$F$ שלילי או מרוכב בעל חלק ממשי לא חיובי. שיקולים אלו מובילים לכך של-$F$ צריכה להיות נקודה בה היא מקבלת ערך מקסימלית. אורך גל זה יהיה אורך הגל שיגדל הכי מהר בשלב הלינארי של ההפרעה, וישלוט על צורת הזרם לאחר מכן.

ניתוח מלא

ניתוחם המתמטי המקורי של ריילי ופלטו את בעיית ההתפרקות של סילון נוזלי לטיפות מים נעשה דרך תורת ההפרעות מסדר ראשון, ולעיתים קרובות הוא משמש כמקרה מבוא לבעיה של יציבות הידרודינמית בפרט ותורת ההפרעות בכלל. אף על פי כן, הוא מתייחס לסילון זרם בהיעדר שדה כבידה (על אף שהכבידה היא הסיבה הראשונית לנפילה האנכית של נוזל) ובעל צמיגות מאוד נמוכה; ההנחה הראשונה גוררת שבסדר האפס מהירות הזורם קבועה לאורכו, ואילו ההנחה השנייה מאפשרת להזניח איברים מסוימים במשוואות נאוויה-סטוקס ובכך לפשט את התיאור המתמטי.

נניח אם כן שבסדר האפס הסילון הוא בצורת גליל בעל רדיוס $R_{0}$, מהירות $U_{0}$, ולחץ פנימי $p_{0}$, ושנוספת הפרעה אינפיניטסימלית מחזורית בצורת הסילון, כך שכעת צורתו היא ${\tilde {R}}=R_{0}+\epsilon e^{\omega t+ikz}$. באותו אופן, נניח באופן מושכל שקיימת הפרעה דומה בלחץ ${\tilde {p}}$ וברכיבי המהירות ${\tilde {u}}_{r},{\tilde {u}}_{z}$ של פרודות הזורם אשר עוקבת אחרי ההפרעה בצורת הסילון, ושלפיכך היא בעלת צורה פונקציונלית דומה. בשל אחידות מהירות הזורם לאורכו של הסילון ניתן לעבוד במערכת ייחוס הנעה ביחד עם הזורם, שבה הזורם בגליל במנוחה.

מכיוון שבמערכת הסילון מהירות הזורם היא אפס, משוואות נאוויה סטוקס יתייחסו רק להפרעה המחזורית הקטנה במהירות הרדיאלית והצירית של פרודות הזורם. בהזנחת צמיגות הזורם, משוואות נאוויה-סטוקס בקואורדינטות גליליות יקבלו את הצורה (משוואות אוילר לשימור מסה ותנע):

$\rho \left({\frac {\partial {\tilde {u}}_{r}}{\partial t}}+{\tilde {u}}_{r}{\frac {\partial {\tilde {u}}_{r}}{\partial r}}+{\tilde {u}}_{z}{\frac {\partial {\tilde {u}}_{r}}{\partial z}}\right)=-{\frac {\partial p}{\partial r}}$

$\rho \left({\frac {\partial {\tilde {u}}_{z}}{\partial t}}+{\tilde {u}}_{r}{\frac {\partial {\tilde {u}}_{z}}{\partial r}}+{\tilde {u}}_{z}{\frac {\partial {\tilde {u}}_{z}}{\partial z}}\right)=-{\frac {\partial p}{\partial z}}$

מאחר וכוונתנו לפתור את המשוואה עד לסדר הראשון ב-$\epsilon$, איברי ההאצה הקונבקטיבית במשוואת שימור התנע, שסדר הגודל שלהם הוא $\epsilon ^{2}$, נופלים. נותרנו אם כן עם זוג המשוואות:

$\rho {\frac {\partial {\tilde {u_{r}}}}{\partial t}}=-{\frac {\partial p}{\partial r}}$

$\rho {\frac {\partial {\tilde {u_{z}}}}{\partial t}}=-{\frac {\partial p}{\partial z}}$

המייצגות שימור תנע, ועם משוואת הרציפות:

${\frac {\partial {\tilde {u}}_{r}}{\partial r}}+{\frac {{\tilde {u}}_{r}}{r}}+{\frac {\partial {\tilde {u}}_{z}}{\partial z}}=0$

המייצגת שימור מסה. בשל הסימטריה הגלילית של הבעיה ניתן להניח שלחץ הזורם וכל אחד מרכיבי המהירות תלויים רק בקואורדינטה הרדיאלית r ובקואורדינטה האנכית z באופן הבא:

${\tilde {u}}_{r}=U(r)e^{\omega t+ikz}$

${\tilde {u}}_{z}=Z(r)e^{\omega t+ikz}$

${\tilde {p}}=P(r)e^{\omega t+ikz}$

בעזרת הצבת הניחושים עבור הלחץ והמהירות במשוואות הזרימה נקבל:

${\frac {\partial P}{\partial r}}=-\rho \omega U$

$ikP=\rho \omega Z$

${\frac {\partial U}{\partial r}}+{\frac {U}{r}}+ikZ=0$

ומשלוש משוואות אלו ניתן להגיע למשוואה הדיפרנציאלית הרגילה הבאה עבור $U(r)$:

$r^{2}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial r^{2}}}+r{\frac {\partial U}{\partial r}}-(1+k^{2}r^{2})U=0$

שפתרונה הוא מכפלה של מקדם לא ידוע C בפונקציית בסל מתוקנת מסדר 1 במשתנה $kr$:

$U(r)=CI_{1}(kr)$

כדי לקבוע את המקדם C נכפיף את הפתרון לתנאי שפה מתאימים:

• תנאי השפה הקינמטי – קצב ההשתנות בזמן של רדיוס הסילון בנקודה מסוימת על פני השטח שלו צריך להיות שווה למהירות הרדיאלית של פרודות הזורם באותה נקודה, כלומר מתקיים:

${\frac {\partial {\tilde {R}}}{\partial t}}={\tilde {u}}_{r}(r={\tilde {R}})\implies \epsilon \omega e^{\omega t+ikz}=U({\tilde {R}})e^{\omega t+ikz}\approx U(R_{0})e^{\omega t+ikz}=\epsilon \omega CI_{1}(\kappa R_{0})\implies C={\frac {\epsilon \omega }{I_{1}(kR_{0})}}$

גרף המתאר את הקשר בין קצב הגידול $\omega$ למכפלה $kR_{0}$.

• התנאי השני נובע מהפעלת משוואת יאנג-לפלס להערכת ההפרעה בלחץ בתוך הסילון:

$p_{0}+{\tilde {p}}=\gamma \kappa =\gamma \left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)$

רדיוס העקמומיות הראשון הוא $R_{1}={\tilde {R}}=R_{0}+\epsilon e^{\omega t+i\kappa z}$ , ומכיוון ש-$\epsilon <<R_{0}$ נקבל שמתקיים:

${\frac {1}{R_{1}}}\approx {\frac {1}{R_{0}}}(1-{\frac {\epsilon }{R_{0}}}e^{\omega t+i\kappa z})$

ורדיוס העקמומיות השני מקיים:

${\frac {1}{R_{2}}}\approx -{\frac {\partial ^{2}{\tilde {R}}}{\partial ^{2}z}}=\epsilon k^{2}e^{\omega t+ikz}$

ולכן ההפרעה בלחץ היא:

${\tilde {p}}=-{\frac {\gamma \epsilon }{R_{0}^{2}}}(1-k^{2}R_{0}^{2})e^{\omega t+ikz}$

מן הקשר בין $P(r)$ ל-$U(r)$ וכמו כן מן התכונה $I_{1}(x)=I_{0}'(x)$ של פונקציית בסל, נובע שההפרעה בלחץ מקיימת גם:

${\tilde {p}}=-{\frac {\epsilon \omega ^{2}\rho }{\kappa I_{1}(\kappa R_{0})}}I_{0}(\kappa r)e^{\omega t+i\kappa z}$

מהשוואה עם הביטוי ללחץ ב-$r=R_{0}$ שהתקבל דרך משוואת יאנג לפלס נקבל את הקשר הבא בין קצב הגידול של ההפרעות $\omega$ למספר הגל $k$:

$\omega ^{2}T^{2}={\frac {\omega ^{2}\rho R_{0}^{3}}{\gamma }}=kR_{0}{\frac {I_{1}(kR_{0})}{I_{0}(kR_{0})}}(1-k^{2}R_{0}^{2})$

בגלל הגורם $(1-k^{2}R_{0}^{2})$ באגף ימין, ניתן לראות שקצב הגידול ממשי ולא מדומה רק כאשר מתקיים $kR_{0}<1$. הערך המירבי של $\omega$ הוא שמתאים לרכיב הגל שגדל הכי מהר ושגורם בסופו של דבר להתפרקות הסילון. ערך מירבי זה מושג עבור $kR_{0}\approx 0.697$.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא אי-יציבות פלטו-ריילי בוויקישיתוף

• Chirag Kalelkar, Abhijeet Sinha - הפרדות של זרם לטיפות בהילוך איטי ביוטיוב.