התמרת פורייה

		יש לשכתב ערך זה. הסיבה לכך היא: הערך הוא כמעט דף נוסחאות. חסרים הסברים רחבים בהרבה על החשיבות והשימושים.
		אתם מוזמנים לסייע ולתקן את הבעיות, אך אנא אל תורידו את ההודעה כל עוד לא תוקן הדף. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה.	עריכה

התמרת פורייה או טרנספורם פורייה היא כלי מרכזי באנליזה הרמונית שאפשר לתארו כפירוק של פונקציה לרכיבים מחזוריים (סינוסים וקוסינוסים או לחלופין אקספוננטים מרוכבים) וביצוע אנליזה מתמטית לפונקציה על ידי ניתוח רכיביה. שיטה זו פותחה על ידי ז'אן-בטיסט ז'וזף פורייה.

התמרת פוריה מאפשרת כתיבה של פונקציה נתונה בתור סכום לינארי של פונקציות מחזוריות (נקראות גם הרמוניות, בשל הקרבה לצלילים מוזיקליים. ראו דוגמה בהמשך). בשל כך ניתן לראות את ההתמרה בתור מיפוי בין מרחב הזמן למרחב התדר.

לדוגמה צליל מוזיקלי צלול ("תו" בודד) הוא למעשה גל קול אשר מתנדנד בזמן בתדר מסוים. התמרת פורייה משמשת ככלי חשוב בניתוח של צלילים: היא מאפשרת לנתח הקלטה של צלילים ולבודד את התדרים המרכיבים אותה. באופן כללי יותר התמרת פורייה מאפשרת לאתר בתוך פונקציה רכיבים מחזוריים, ולכן יש לה שימוש רחב בניתוח אותות ובעיבוד תמונה. התמרת פורייה הינה אחד הכלים החשובים בהנדסת חשמל ומהווה את הבסיס המדעי לפיתוחים טכנולוגיים בתחומי התקשורת הספרתית, עיבוד אותות ומערכות לינאריות, עיבוד תמונה וקידוד. כמו כן התמרת פורייה משמשת ככלי בתחומים רבים נוספים של המתמטיקה, למשל בתור כלי עזר לפתרון של משוואות דיפרנציאליות, או כלי לביצוע פירוק לגורמים של מספר על ידי מחשב קוונטי (אלגוריתם שור).

הגדרה פורמלית 1

מוטיבציה - פירוק לפונקציות הרמוניות

פונקציה מחזורית בעלת תדירות זוויתית $\ \omega$, שלפעמים נקראת בקיצור פשוט "הרמוניה" או "פונקציה הרמונית", היא פונקציה מהסוג

$\ f_{\omega}(t) = A e^{\pm i\omega t}= A\cos(\omega t)\pm iA\sin(\omega t)$.

צירוף לינארי של כמה פונקציות כאלה נותן ביטוי מהצורה הכללית

$f(t)=\sum_k f_{\omega_k}(t) = \sum_k A_k e^{ -i\omega_k t}$

ואם בונים צירוף רציף של פונקציות כאלה יש לעבור לאינטגרל

$f(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} A(\omega) e^{ -i\omega t} d\omega$,

לכן,$\ \omega$ - המרחב של הפונקציה המותמרת - נקרא מרחב התדירות הזוויתית (או פשוט מרחב התדר) ואפשר לראות את המשרעת והפאזה של $\ A(\omega)$ כרכיבים של אות מחזורי בעל תדירות זוויתית $\ \omega$, ואילו למרחב המקורי קוראים מרחב הזמן.

התמרת פורייה

התמרת פורייה של פונקציה $\ f: \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ מוגדרת כפונקציה $\ F: \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ כך ש

$F(\omega) \equiv \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt$

(אפשר להגדיר את ההתמרה בעזרת קבועים אחרים, בחירת הקבועים נעשית משיקולי נוחות). ההתמרה מוגדרת רק עבור פונקציות שעבורן אינטגרל כזה מוגדר ולא מתבדר. האינטגרל קיים עבור פונקציות שהן אינטגרביליות בערכן המוחלט לפי לבג, כלומר פונקציות ב-$L_1(\mathbb{R})$. מכאן ניתן להגדיר את התמרת פורייה בקבוצה $L_1(\mathbb{R})\cap L_2(\mathbb{R})$ שהיא קבוצה צפופה ב-$L_2(\mathbb{R})$. בשלב הבא מרחיבים את ההתמרה על כל $L_2(\mathbb{R})$, ומקבלים שהתמרת פוריה מוגדרת על אוסף הפונקציות האינטגרביליות בריבוע לפי לבג - $L_2(\mathbb{R})$ שהוא מרחב הילברט.

התמרת פורייה ההפוכה

באופן דומה, אפשר להגדיר את ההתמרה בצורה הבאה, זו ההתמרה של פונקציה $\ \mathcal{F}: \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ שניתנת על ידי

$\ f(t) = \mathcal{F}(t) \equiv \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega) e^{i\omega t} d\omega$,

להתמרה זו קוראים התמרת פורייה ההפוכה.

אפשר לראות שהפעלת התמרת פורייה ההפוכה על התמרת פורייה מחזירה את הפונקציה המקורית.

$\ \mathcal{F}(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega) e^{i\omega t} d\omega = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} d\omega \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) e^{-i\omega x} e^{i\omega t} dx =$

$= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\left( \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i\omega (t-x)} d\omega\right) dx = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \delta{(t-x)} dx = f(t)$

שכן

$\ \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i\omega (t-x)} d\omega = \delta(t-x) \ \$ (פונקציית הדלתא של דיראק).

הגדרה פורמלית 2

אפשר לרשום כל פונקציה $\ f: \mathbb{R} \to \mathbb{C}$, שהיא פונקציה אינטגרבילית בריבוע לפי לבג (אפשר לרשום זאת בקיצור כך $\ f \in L_2$) כצירוף לינארי (אינטגרלי) של פונקציות הרמוניות בעלות תדר יחיד באופן הבא:

$\ (1) \quad \quad \quad \quad f(t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty}{ \hat{f}(\omega) \ e^{i \omega t} \ d\omega}$

הפונקציה $\ \hat{f}(\omega)$ נתונה על ידי

$\ (2) \quad \quad \quad \quad \hat{f}(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty}{ f(t) \ e^{-i \omega t} \ dt}$

$\ \hat{f}(\omega)$ נקראת "ההצגה של $\ f$ במרחב התדר" בעוד שהפונקציה $\ f(t)$ נקראת "ההצגה של $\ f$ במרחב הזמן".

ניתן להצדיק נוסחה זאת משיקולים של אורתוגונליות במרחב $\ L_2$.

טרמינולוגיה:

• ההעתקה המתאימה לכל פונקציה במרחב התדר את הפונקציה המתאימה במרחב הזמן על פי משוואה (1) נקראת "התמרת פורייה ההפוכה".
• ההעתקה המתאימה לכל פונקציה במרחב הזמן את הסט הרציף של המשרעות והפאזות עבור כל תדירות (למעשה, זוהי פונקציה במרחב התדר) על פי משוואה (2) נקראת "התמרת פורייה".
• (לעתים מחליפים בין המונחים הנ"ל בספרים שונים ).

הערה על סימונים וגורמי נרמול

מספר סימונים שונים נהוגים עבור טרנספורם פורייה וכן ישנן מספר מוסכמות איפה להכניס את גורמי הנרמול בסך $\ 1 / 2 \pi$ .

להלן הגישות הנפוצות בנושא:

• הוספת גורם הנרמול $\ 1 / 2 \pi$ באחד מכיווני ההתמרה.
• הוספת גורם נרמול $\ 1 / \sqrt{ 2 \pi}$ לפני כל אחת מההתמרות.
• הוספת גורם הנרמול $\ 1 / 2 \pi$ להגדרת המכפלה הפנימית.

גישת הסימונים שהופיעה בהגדרה 2 היא הגישה הנפוצה בפיזיקה ו הנדסה. היא גם שכיחה במתמטיקה עיונית אם כי בתחום זה גם גישות סימון אחרות זוכות לתפוצה רחבה.

העיקרון המתמטי שמאחורי התמרת פורייה

מרחב הפונקציות האינטגרביליות בריבוע לפי לבג

המרחב $\ L_2$ הוא מרחב הפונקציות האינטגרביליות בריבוע לפי לבג. מרחב זה, בצירוף המכפלה הפנימית

$\ \lang f | g \rang \equiv \int_{-\infty}^{+\infty}{ f(t) \ \overline{g(t)} \ dt} = \int_{-\infty}^{+\infty}{ f(t) \ {g(t)}^* \ dt}$ הוא מרחב הילברט.

אוסף הפונקציות $\ e(\omega)\equiv \left\{ \frac{e^{i \omega t}}{\sqrt{2 \pi}} \right\}_{\omega \in \mathbb{R}}$ מהווה מערכת אורתונורמלית שלמה, שהיא מעין הכללה של בסיס אורתונורמלי, משמע:

$\lang e(\rho) | e(\omega) \rang = \int_{-\infty}^\infty \left(\frac{e^{i\rho x}}{\sqrt{2\pi}}\right) \, \left(\frac{e^{-i\omega x}}{\sqrt{2\pi}}\right) \, dx =\delta(\rho - \omega)$

כאשר הפונקציה $\ \delta(x)$ היא פונקציית הדלתא של דיראק. מערכת זו נקראת במתמטיקה "הבסיס ההרמוני" ואילו בפיזיקה קוראים לפונקציות אלה "גלים מישוריים".

במובן זה, המשמעות של הפונקציה המותמרת היא פונקציית ההיטל של הפונקציה המקורית על הבסיס ההרמוני, משמע $\ F(\omega) = \lang f(t) | e(\omega) \rang$. והמשמעות של ההתמרה ההפוכה היא פונקציית ההיטל של הפונקציה המקורית על הבסיס ההרמוני המצומד $\ f(t)= \lang e(t) | F(\omega) \rang$.

התמרת פורייה כאופרטור

כמרחב וקטורי, הפונקציות יוצרות מרחב הילברט. התמרת פורייה היא טרנספורמציה לינארית בין מרחב הילברט L₂ למרחב הילברט הדואלי שלו (במקרה של מרחב הילברט המרחב הדואלי איזומטרי למרחב המקורי). כאופרטור, התמרת פורייה היא אופרטור לינארי ובפרט יוניטרי, כלומר היא שומרת על גודל הנורמה ועל מכפלה פנימית.

סימונים נוספים

לעתים נהוג לסמן את ההתמרה - $\ F(\omega)$ - כפונקציה של הפונקציה המקורית שמחזירה פונקציה אחרת:

$\ F\equiv \mathfrak{F}( f)$

או בעזרת אופרטור ה"כובע" על הפונקציה המקורית:

$\ F\equiv \widehat{f}$.

מאחר שסימן ה"כובע" פשוט יותר הוא יותר מקובל מהשימוש באותיות גדולות או באותיות מסולסלות. כמו כן, את התמרה פורייה ההפוכה נהוג לסמן על ידי כובע הפוך:

$\ f \equiv \check{F}$.

לעתים, כאשר הממשק הגרפי איננו מאפשר ציור "כובע" רחב, שמים את הביטוי המבוקש בסוגריים ואופרטור ה"כובע" (או הכובע ההפוך) מופיע מעליהם בדומה לסימון של חזקה.

התמרת פורייה לאותות בזמן בדיד

התמרת פורייה בדידה היא למעשה טור פורייה.

נניח ש- $\ x[n]$ הינו אות בזמן בדיד.
אזי התמרתו נתונה על ידי: $\ X^{f} (\theta )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n] e^{-i\theta n}$

כאשר תנאי מספיק לקיום ההתמרה הוא: $\ \sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|x[n]\right| <\infty$

וההתמרה ההפכית נתונה על ידי: $\ x[n]=\frac{1}{2\pi } \int _{-\pi }^{\pi }X^{f} (\theta )e^{i\theta n} d\theta$

נשים לב ש- $\ X^{f} (\theta )$ מחזורית במחזור $2\pi$.

התמרת פורייה לאותות בזמן בדיד סופי

עבור $\ x[n]$ המוגדרת על $\ [0..M-1]$
התמרתה נתונה על ידי:
$\ X^{f} (m )=\frac{1}{M}\sum _{n=0 }^{M-1} x[n] e^{-2i{\pi}mn/M}$
עבור m=0,1,...M-1.
ההתמרה במקרה זה היא טרנספורמציה לינארית חח"ע ממרחב ה-M-יות על עצמו.

תכונות

לינאריות

התמרת פורייה והתמרת פורייה ההפוכה הן לינאריות. כלומר:

$\ \forall f,g \in L_2 \ , \alpha , \beta \in \mathbb{C} \ \ \ : \ \ \ \ {\widehat{\left( \alpha f + \beta g \right)}} (\omega) = \alpha \hat{f}(\omega) + \beta \hat{g}(\omega)$

על תכונות של העתקות לינאריות ראו בערך העתקה לינארית.

משפט פלנשרל וזהות פרסבל

משפט פלנשרל קובע ש

$\ \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty f(t) g(t)^* \, dt = \int_{-\infty}^\infty \hat{f}(\omega) \hat{g}(\omega)^* \, d\omega$

זהות פרסבל היא מקרה פרטי - אך שימושי ביותר - של משפט פלנשרל.

$\ \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \left| f(t) \right|^2 dt = \int_{-\infty}^\infty \left| \hat{f}(\omega) \right|^2 d\omega$

הפירוש של תכונה זאת היא שימור הנורמה, כלומר - היוניטריות של התמרת פורייה.

קונבולוציה

קונבולוציה מוגדרת באופן הבא:

$\ f*g = \int_{-\infty}^{+\infty}{ f(x - t) \ g(t) \ dt}$

התמרת פורייה מקיימת את הזהויות הבאות בקשר לקונבולוציה:

• $\widehat{f*g} = \hat{f} \cdot \hat{g}$
• $\widehat{f \cdot g} = \hat{f} * \hat{g}$

נגזרת

התמרת פורייה מתנהגת בצורה נוחה במיוחד ביחס לפעולת הגזירה.

מאחר שמותר להכניס את סימן הגזירה תחת האינטגרל, קל לראות ש

$\ \frac{df(t)}{dt} = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int{ \hat{f}({\omega}) \frac{d}{dt} e^{i \omega t} d\omega} = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int{ \hat{f}({\omega}) i\omega e^{i \omega t} d\omega}$

ולכן

$\widehat{\frac{df}{dt}}(\omega) = \widehat{\dot{f}(t)} = i\omega \hat{f}(\omega)$

כלומר, גזירה במרחב הזמן שקולה פשוט לכפל ב $\ i\omega$ במרחב התדר.

תכונה שימושית זו נובעת מכך שהפונקציה המעריכית היא פונקציה עצמית של אופרטור הגזירה, שכן

$\ \frac{d}{dx} e^{ikx} = ik \ e^{ikx}$

הכללה למספר ממדים

ההכללה לפונקציות ב $\ N$ ממדים היא מיידית.

אם $\ f: \mathbb{R}^N \to \mathbb{C}$ פונקציה אינטגרבילית לבג, אזי הפונקציה $\ F(\vec{k})$ נקראת "ההצגה של f במרחב וקטור הגל" ונתונה על ידי

$\ F(\vec{k}) \equiv \hat{f}(\vec{k}) \equiv \frac{1}{\sqrt{2 \pi}^N} \int_{\vec{r} \in \mathbb{R}^N}{ f(\vec{r}) \ e^{-i \vec{k} \cdot \vec{r}} \ d^N r}$

וההתמרה ההפוכה מחזירה את הפונקציה המקורית ומוגדרת על ידי

$\ f(\vec{r}) \equiv \frac{1}{\sqrt{2 \pi}^N} \int_{\vec{k} \in \mathbb{R}^N}{ F(\vec{k}) \ e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} \ d^N k}$

כאשר:

• $\int_{\vec{k} \in \mathbb{R}^N}{ d^N k}$ הוא אינטגרל "נפחי" על כל המרחב (משמע $\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} ... \int_{-\infty}^{+\infty} dk_1 dk_2...dk_N$).
• $\ \vec{k} \cdot \vec{r} \equiv \sum_{n=1}^{N}{r_n k_n}$ הוא מכפלה סקלרית ב $\ \mathbb{R}^N$.

טבלת התמרות שימושיות

הטבלה הבאה מכילה מספר התמרות שימושיות. $\ F(\omega)$ ו $\ G(\omega)$ מציינות את ההתמרות של $\ f(t)$ ו $\ g(t)$ בהתאמה.

	פונקציה	ההתמרה	פירוש
1	$\ a f(t) + b g(t)$	$\ a F(\omega) + b G(\omega)$	לינאריות
2	$\ f(t - a)$	$\ e^{- i\omega a} F(\omega)$	הזזה בקבוע
3	$\ e^{ iat} f(t)$	$\ F(\omega - a)$	כפל בפאזה מרוכבת
4	$\ f(a t)$	$\ |a|^{-1} F \left( \frac{\omega}{a} \right)$	שינוי סקלה
5	$\ \frac{d^n f(t)}{dt^n}$	$\ (i\omega)^n F(\omega)$	גזירה במרחב הזמן
6	$\ t^n f(t)$	$\ i^n \frac{d^n F(\omega)}{d\omega^n}$	גזירה במרחב התדר
7	$\ (f * g)(t)$	$\ \sqrt{2\pi} F(\omega) G(\omega)$	קונבולוציה
8	$\ f(t) g(t)$	$\ (F * G)(\omega) \over \sqrt{2\pi}$	מכפלה
9	$\ \delta(t)$	$\ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}$	הדלתא של דיראק
10	$\ 1$	$\ \sqrt{2\pi}\delta(\omega)$	-
11	$\ t^n$	$\ i^n \sqrt{2\pi} \delta^{(n)} (\omega)$	-
12	$\ e^{i a t}$	$\ \sqrt{2 \pi} \delta(\omega - a)$	-
13	$\ \cos (a t)$	$\ \sqrt{2 \pi} \frac{\delta(\omega - a) + \delta(\omega + a)}{2}$	קוסינוס
14	$\ \sin( at)$	$\ \sqrt{2 \pi}\frac{\delta(\omega - a) - \delta(\omega + a)}{2i}$	סינוס
15	$\ \exp(-a t^2)$	$\ \frac{1}{\sqrt{2a}} \exp\left(\frac{-\omega^2}{4a}\right)$	גאוסיאן
16	$\ W \sqrt{\frac{2}{\pi}} \mathrm{sinc}(W t)$	$\ \mathrm{rect}\left(\frac{\omega}{2 W}\right)$	התמרת פונקציית המלבן לפונקציית sinc
17	$\ \frac{1}{t}$	$\ -i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sgn(\omega)$	-
18	$\ \frac{1}{t^n}$	$\ -i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{(-i\omega)^{n-1}}{(n-1)!}\sgn(\omega)$	-
19	$\ \sgn(t)$	$\ \sqrt{\frac{2}{\pi}}(i\omega)^{-1}$	גל מרובע

שימושים

• מתמטיקה
  • פתרון משוואות דיפרנציאליות (בעיקר חלקיות)
  • אנליזה הרמונית
  • אנליזה פונקציונלית
• פיזיקה
  • גלים
  • פתרון משוואת הגלים
  • פתרון משוואת החום
  • קרינה אלקטרומגנטית
  • מכניקת הקוונטים
  • פתרון משוואת שרדינגר
• מדעי המחשב
  • עיבוד אותות
  • עיבוד קול
  • עיבוד תמונה
• הנדסה
  • אלקטרוניקה
  • אלקטרומגנטיות

ראו גם

• טור פורייה
• תורת שטורם-ליוביל
• שדה המספרים המרוכבים
• חשבון אינפיניטסימלי
• אלגברה לינארית
• מרחבי מכפלה פנימית ובפרט מרחב הילברט
• אורתוגונליות
• משוואות דיפרנציאליות
• אופרטור הרמיטי
• התמרת פורייה קוונטית
• התמרת לפלס

קישורים חיצוניים

• מחשבון להתמרה פוריה ישירה והפוכה
• התמרת פוריה - טרנס טאו
• דוידסון אונליין - למידה מתוקשבת: פוריה: עושים גלים יישומון עם הסברים.