ממוצע לוגריתמי

במתמטיקה, ממוצע לוגריתמי הוא גודל המייצג ממוצע של שני מספרים חיוביים או יותר, בדומה לממוצע החשבוני והממוצע ההנדסי, וגודלו תמיד נמצא בין שניהם. ממוצע זה מחושב על ידי שימוש בפונקציית הלוגריתם ולו שימושים שונים במתמטיקה ובפיזיקה, בהם למשל במעברי חום ומסה.

הממוצע הלוגריתמי של שני מספרים חיוביים שונים $a$ ו-$b$ הוא:

$\operatorname {LM} (a,b):={\frac {a-b}{\ln {\frac {a}{b}}}}={\frac {a-b}{\ln {a}-\ln {b}}}$

במקרה שבו $a=b$ מוגדר $\operatorname {LM} (a,b):=a=b$

תכונות

סימטריות

ניתן להוכיח כי הממוצע הלוגריתמי סימטרי:

$\operatorname {LM} (a,b)={\frac {a-b}{\ln {a}-\ln {b}}}={\frac {-1}{-1}}\cdot {\frac {a-b}{\ln {a}-\ln {b}}}={\frac {b-a}{\ln {b}-\ln {a}}}=\operatorname {LM} (b,a)$

מונוטוניות

ניתן להוכיח כי הממוצע הלוגריתמי עולה מונוטונית. כלומר, אם $a_{1}\leq a_{2}$ ו-$b_{1}\leq b_{2}$ אז מתקיים $\operatorname {LM} (a_{1},b_{1})\leq \operatorname {LM} (a_{2},b_{2})$

הומוגניות

ניתן להוכיח כי הממוצע הלוגריתמי הומוגני. כלומר, לכל $a$ ו-$b$ חיוביים ולכל מקדם $\alpha >0$ מתקיים כי $\operatorname {LM} (\alpha a,\alpha b)=\alpha \operatorname {LM} (a,b)$

רציפות

פונקציית הממוצע הלוגריתמי $\operatorname {LM} (x,y)$ היא פונקציה רציפה בשני המשתנים. בנקודות שבהן $x\neq y$ הרציפות טריוויאלית לפי רציפות פונקציית הלוגריתם. במקרה $x=y$ ניתן להוכיח רציפות על-ידי שימוש בכלל לופיטל:

$\lim _{x\to y}{\operatorname {LM} (x,y)}=\lim _{x\to y}{\frac {x-y}{\ln x-\ln y}}=\lim _{x\to y}{\frac {1}{\frac {1}{x}}}=\lim _{x\to y}{x}=y=\operatorname {LM} (y,y)$

הגדרות אלטרנטיביות

לממוצע הלוגריתמי מספר הגדרות אלטרנטיביות אשר עושות שימוש באינטגרלים:

$\operatorname {LM} (a,b)=\int _{0}^{1}{a^{u}b^{1-u}du}$

${\frac {1}{\operatorname {LM} (a,b)}}=\int _{0}^{1}{\frac {du}{ua+(1-u)b}}$

${\frac {1}{\operatorname {LM} (a,b)}}=\int _{0}^{\infty }{\frac {du}{(a+u)(b+u)}}$

אי-שוויון הממוצעים

ייצוג ויזואלי של הממוצע ההנדסי (בירוק), הלוגריתמי (באדום) והחשבוני (בכחול) כשטח ביחס לגרף הפונקציה $f(x)=\exp(x)$

ערך מורחב – אי-שוויון הממוצעים

הממוצע החשבוני והממוצע ההנדסי של $a$ ו-$b$ מוגדרים להיות:

$\operatorname {AM} (a,b):={\frac {a+b}{2}}$

$\operatorname {GM} (a,b):={\sqrt {ab}}$

ניתן להוכיח כי לכל $a$ ו-$b$ חיוביים מתקיימים אי השוויונות $\operatorname {GM} (a,b)\leq \operatorname {LM} (a,b)\leq \operatorname {AM} (a,b)$.

הוכחה

כדי להוכיח את אי השוויונות יש להסתכל על גרף הפונקציה $f(x)=\exp(x)$ בין הנקודות $\ln a$ ו-$\ln b$. כפי שניתן לראות בגרף המצורף, השטח הירוק קטן מהשטח האדום שקטן מהשטח הכחול, זאת מכיוון שכל שטח מכיל בתוכו את השטח הקודם.

את שטח הטרפז הירוק ניתן לחשב על-ידי מציאת אורך קטע האמצעים שלו. אורך זה הוא:

$f\left({\frac {\ln a+\ln b}{2}}\right)=\exp \left({\frac {\ln a+\ln b}{2}}\right)=\exp(\ln({\sqrt {ab}}))={\sqrt {ab}}$

לכן, שטח הטרפז הירוק הוא $A_{\text{green}}={\sqrt {ab}}(\ln b-\ln a)$

את השטח האדום ניתן לחשב על-ידי אינטגרל:

$A_{\text{red}}=\int _{\ln a}^{\ln b}{\exp(x)dx}=[\exp(x)]_{\ln a}^{\ln b}=b-a$

אורכי הבסיסים של הטרפז הכחול הם $a$ ו-$b$. לכן שטח הטרפז הכחול הוא $A_{\text{blue}}={\frac {1}{2}}(a+b)(\ln b-\ln a)$

על-ידי השוואת השטחים מתקבל:

$A_{\text{green}}\leq A_{\text{red}}\leq A_{\text{blue}}$

${\sqrt {ab}}(\ln b-\ln a)\leq b-a\leq {\frac {1}{2}}(a+b)(\ln b-\ln a)$

מחלקים את כל האגפים ב-$\ln b-\ln a$ ומתקבל:

${\sqrt {ab}}\leq {\frac {b-a}{\ln b-\ln a}}\leq {\frac {a+b}{2}}$

כנדרש. מש"ל.

שימושים

מחלף חום

גרף טמפרטורה למיקום בצינור עבור הצינור החם והצינור הקר במחלף חום בעל מנגנון זרימה נגדית

בהינתן מחלף חום בעל שני צינורות בעלי זרימה נגדית ניתן לסמן את הפרש הטמפרטורות בין שני הצינורות בשני קצות המחלף בתור $\Delta A$ ו-$\Delta B$. במקרה זה ניתן לחשב את הספק אנרגיית החום המועברת מהצינור החם לצינור הקר:

$Q=UA\Delta T$

זאת כאשר:

• $Q$ הוא הספק החום המועבר מהצינור החם לצינור הקר (נמדד בוואט ביחידות SI)
• $U$ הוא מקדם מעבר החום התלוי בחומרים הזורמים בצינורות (נמדד בוואט למטר בריבוע לקלווין ביחידות SI)
• $A$ הוא שטח החתך על פניו מתבצע מעבר החום בין הצינורות (נמדד במטר בריבוע ביחידות SI)
• $\Delta T$ הוא הממוצע הלוגריתמי של $\Delta A$ ו-$\Delta B$ (נמדד בקלוויון ביחידות SI)

כלומר, $\Delta T$ מחושבת על-ידי:

$\Delta T={\frac {\Delta B-\Delta A}{\ln \left({\frac {\Delta B}{\Delta A}}\right)}}$

קישורים חיצוניים

• ממוצע לוגריתמי, באתר MathWorld (באנגלית)

• What is the logarithmic mean, and why does it fit right in the middle??, בביצוע Michael Penn, סרטון באתר יוטיוב

• Roger B. Nelsen, Proof without Words: The Arithmetic-Logarithmic-Geometric Mean Inequality, Mathematics Magazine, October 1995, Vol. 68, No. 4, p. 305, in JSTOR