דיפרנציאל (מתמטיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בחשבון אינפיניטסימלי בפרט ובאנליזה מתמטית בכלל, דיפרנציאל של פונקציה בנקודה מסוימת הוא קירוב לינארי של הפונקציה בנקודה זו.

עבור פונקציות סקלריות במשתנה יחיד, מושג הדיפרנציאל קשור קשר הדוק למושג הנגזרת, אולם כאשר עוברים לפונקציות של כמה משתנים, או לפונקציות שמחזירות וקטור, הדיפרנציאל הוא הכללה של הנגזרת, ושונה ממושג הנגזרת החלקית.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהא \ f:\mathbb{R}^n\rarr\mathbb{R}^m פונקציה דיפרנציאבילית בנקודה \ p.

מהדיפרנציאביליות של הפונקציה נובע שניתן לכתוב: \ f(p+\Delta p)=f(p)+D_p(\Delta p)+o(\Delta p) כאשר \ o מסמל פונקציה המקיימת \ \lim_{\Delta p \to 0} \frac{o(\Delta p)}{\Delta p}=0, ו־\ D_p מסמל טרנספורמציה לינארית מ־\ \mathbb{R}^n אל \ \mathbb{R}^m. הטרנספורמציה \ D_p תיקרא הדיפרנציאל של הפונקציה \ f בנקודה \ p ולפעמים תסומן גם כך: df_p(\Delta p).

נשים לב כי הטרנספורמציה תלויה בנקודה \ p – בכל נקודה יש לפונקציה \ f קירוב לינארי שתלוי באותה נקודה, וניתן להוכיח שהדיפרנציאל הוא יחיד. כלומר לא קיימים 2 העתקות לינאריות שמקיימות את ההגדרה הכתובה לעיל באותה נקודה.

מציאת הדיפרנציאל[עריכת קוד מקור | עריכה]

נראה כי אם נסתכל על וקטור היחידה \vec{e_i} (וקטור אפסים עם 1 במקום ה-i. לדוגמה ב- \mathbb{R}^4 מתקיים ש- \vec{e_2}=(0,1,0,0)) ו-f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m דיפרנציאבילית בנקודה p אז \forall 1\leq i\leq n :df_p(e_i)=\frac{\partial f}{\partial x_i}(p). מהמשפט הזה אפשר להסיק שבאופן כללי לכל וקטור \Delta p =(\Delta p_1,...,\Delta p_n)=\sum_{i=1}^n \Delta p_i \vec{e_i} הדיפרנציאל, שהוא אופרטור לינארי, יהיה

df_p(\Delta p)=df_p(\sum_{i=1}^n \Delta p_i \vec{e_i})=\sum_{i=1}^n\Delta p_i\cdot df_p(\vec{e_i}) = \sum_{i=1}^n \Delta p_i \frac{\partial f}{\partial x_i}(p)


מכאן ניתן להוכיח כי הדיפרנציאל מיוצג על ידי מטריצה ששורותיה הן הגרדיאנטים של הפונקציות הסקלריות המרכיבות את \ f. מטריצה זו נקראת מטריצת יעקובי.

מכיוון שאנו מדברים על "דיפרנציאל בנקודה" ניתן להסתכל על הדיפרנציאל באופן כללי בתור פונקציה, שמתאימה לכל נקודה את הדיפרנציאל המתאים לאותה נקודה. זהו המובן הכללי של דיפרנציאל של פונקציה. כשם שנגזרת של פונקציה סקלרית במשתנה יחיד היא פונקציה, שמתאימה לכל נקודה מספר (המספר הנגזר), גם דיפרנציאל מתאים לכל נקודה את מטריצת יעקובי של אותה הנקודה.

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

במקרה הפרטי של פונקציה סקלרית במשתנה יחיד, \ y=f(x), אם הפונקציה גזירה בנקודה \ x_0 פירוש הדבר הוא שקיים הגבול הבא: \ \lim_{\Delta x\rarr 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}. אם נסמן גבול זה בתור \ f'(x_0), נשים לב שמתקיים \ f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+f'(x_0)\Delta x+o(\Delta x). (ניתן לראות זאת על ידי חלוקה ב-\ \Delta x והשאפתו לאפס).

מכאן שהדיפרנציאל במקרה זה D_{x_0}=f'(x_0)\cdot (x-x0). כאן הדיפרנציאל הוא "טרנספורמציה לינארית" שמיוצגת על ידי מטריצה של איבר בודד.

מקובל לעתים קרובות במקרה של פונקציה סקלרית במשתנה יחיד \ f לסמן את הדיפרנציאל שלה בתור \ df. מכאן גם ניתן להבין את פשר הסימון \ \frac{df}{dx} שמתאר נגזרת (כלומר, את \ df) - אם נסתכל על \ x, המשתנה, כפונקציה של עצמו, הרי שהדיפרנציאל שלו בנקודה \ x_0 הוא D_{x_0}=1(x-x_0)=(x-x_0). עם זאת, רצוי לזכור שזהו עדיין סימון בלבד - דיפרנציאלים הם העתקות לינאריות, ואין למנה שלהם משמעות מתמטית.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

דיפרנציאל של העתקה בין יריעות