מרחב וקטורי

המונח "וקטור (אלגברה)" מפנה לכאן. לערך העוסק בוקטורים בגאומטריה אנליטית, פיזיקה ותחומים אחרים, ראו: "וקטור".

באלגברה לינארית, מרחב וקטורי (או מרחב לינארי) מעל שדה הוא קבוצה של איברים, אשר עליהם מוגדרות פעולות של חיבור האברים בינם לבין עצמם ושל כפל האברים הללו באברי השדה, כך שמתקיימות האקסיומות של מרחב וקטורי (ראו להלן). לאברי המרחב הווקטורי קוראים "וקטורים" ולאברי אותו שדה קוראים "סקלרים". לא מוגדר כפל בין אברי המרחב הווקטורי, אלא רק בין וקטורים לסקלרים. עם זאת, ניתן להגדיר מכפלות בין וקטורים במרחב - למשל מכפלה פנימית (ראו בהמשך).

הגדרה פורמלית

קבוצה $\ V$ נקראת מרחב וקטורי מעל שדה $\ \mathbb{F}$, אם ב-$\ V$ מוגדרת פעולת חיבור וקטורים, אשר תסומן $\ u+v$ לכל $\ u , v$ ב-$\ V$, ומוגדרת פעולת כפל סקלרי, אשר תסומן $\ \alpha \cdot v$ לכל $\ v$ ב-$\ V$ ולכל $\ \alpha$ ב-$\ \mathbb{F}$, כך שמתקיימות הדרישות הבאות לגבי חבור ו"כפל סקלרי":

1. סגירות לחיבור: חיבור של כל שני אברים ב-$\ V$ מניב איבר יחיד אשר גם הוא שייך ל-$\ V$. לשון אחרת: לכל $\ v,u$ ב - $\ V$ מתקיים: $\ (v+u) \in V$.
2. קומוטטיביות לחיבור (חוק החילוף): חיבור שני אברים ב-$\ V$ הוא חילופי; לכל $\ v , u$ ב-$\ V$ מתקיים: $\ u+v = v+u$
3. אסוציאטיביות לחיבור (חוק הקיבוץ): סדר חיבור האברים ב-$\ V$ אינו משנה את התוצאה; לכל $\ u,v,w$ ב-$\ V$ מתקיים: $\ u+(v+w)=(u+v)+w$.
4. קיום איבר נייטרלי לחיבור ("איבר אפס"): קיים איבר $\ 0$ (שהוא איבר ב-$\ V$) כך שלכל $\ v$ ב-$\ V$ מתקיים: $\ v+0=v$
5. קיום איבר נגדי: לכל איבר $\ v$ ב-$\ V$ קיים איבר נגדי ב-$\ V$ המסומן $\ (-v)$ כך שמתקיים $\ v+(-v)=0$ (החיבור שלהם מניב את איבר האפס).
6. סגירות לכפל בסקלר: כפל של כל איבר ב-$\ V$ עם כל איבר ב-$\ \mathbb{F}$ מניב איבר יחיד אשר גם הוא שייך ל-$\ V$.
7. אדישות איבר היחידה לכפל בווקטור: התוצאה של כפל איבר היחידה של השדה $\ \mathbb{F}$ בכל איבר ב-$\ V$ היא תמיד אותו האיבר עצמו (לכל $\ v$ ב-$\ V$ מתקיים $\ 1 \cdot v = v$ , כאשר $\ 1$ הוא איבר היחידה בשדה).
8. אסוציאטיביות של כפל סקלרים בווקטור: לכל $\ \alpha,\beta \in \mathbb{F}$ ולכל $\ v \in V$, מתקיים: $\ (\alpha \cdot \beta) \cdot v = \alpha \cdot (\beta \cdot v)$
9. דיסטריבוטיביות של סקלרים (חוק הפילוג לסקלרים): לכל $\ \alpha,\beta \in \mathbb{F}$ ולכל $\ v \in V$, מתקיים: $\ (\alpha + \beta ) \cdot v = \alpha \cdot v + \beta \cdot v$
10. דיסטריבוטיביות של וקטורים (חוק הפילוג לווקטורים): $\ u,v \in V$ וכל $\ \alpha \in \mathbb{F}$ מתקיים: $\ \alpha\cdot (u+v) = \alpha \cdot u + \alpha\cdot v$

דרישות 1-5 מגדירות את $V$ כחבורה אבלית ביחס לפעולת החיבור. שאר הדרישות עוסקות בקשר בין אברי השדה לאברי $V$.

סימונים

לעתים וקטורים מסומנים בסימון מיוחד כדי להבדילם מסקלרים, למשל וקטור $u \in V$ יסומן באחת מהאפשרויות הבאות:

$\underline{u} \ , \ \overline{u} \ , \ \vec{u}\ , \ \mathbf{u}$

כאשר הסימון האחרון (עם האות המודגשת) נפוץ בספרי לימוד ואילו הסימון עם החץ נפוץ בהרצאות, בהן קשה לכתוב אותיות מודגשות על הלוח.

דוגמאות

• המרחב $\mathbb{R}^n$ של n-יות מספרים ממשיים מעל שדה הממשיים.
• המרחב האוקלידי התלת-ממדי מעל שדה הממשיים.
• מרחב הפונקציות הממשיות מעל שדה הממשיים.
• מרחב המטריצות הממשיות (או המרוכבות) בגודל נתון מעל שדה הממשיים (או המרוכבים).
• מרחב כל ההעתקות הלינאריות מעל מרחב וקטורי נתון.
• אוסף כל התת-קבוצות של קבוצה X כלשהי הוא מרחב וקטורי מעל השדה $\mathbb{Z}_2$, כאשר פעולת החיבור היא פעולת ההפרש הסימטרי.
• מרחב הפולינומים ממעלה n ומטה מעל שדה F.

תלות, אי תלות ופרישה

קבוצה של ווקטורים נקראת תלויה לינארית אם ניתן להציג ווקטור אחד מתוכה כצירוף לינארי של האחרים. אם קבוצה לא תלויה לינארית, היא נקראת בלתי תלויה לינארית. פרוש (Span) של קבוצת ווקטורים הוא קבוצת כל הצירופים הלינאריים של הווקטורים בקבוצה. אומרים שקבוצת וקטורים פורשת את המרחב אם המרחב שווה לפרוש שלה.

בסיס וממד

בסיס של מרחב וקטורי הוא קבוצה בלתי תלויה של וקטורים שפורשת אותו. ממד המרחב הוא מספר הווקטורים בבסיס. מכיוון שמספר זה איננו תלוי בבחירת הבסיס (כלומר שווה בכל הבסיסים במרחב), המושג מוגדר היטב. ממד יכול להיות סופי או אינסופי.

תת-מרחב

תת-מרחב של מרחב וקטורי כלשהו הוא תת-קבוצה שלו שמהווה בעצמה מרחב וקטורי. תת-מרחב חייב להיות מעל אותו שדה של המרחב הווקטורי והפעולות בו חייבות להיות אותן פעולות של המרחב הווקטורי. כדי לבדוק שתת-קבוצה $\ W$ של המרחב הווקטורי $\ V$ מעל השדה $\mathbb{F}$ מהווה מרחב וקטורי, די לבדוק את הפרטים הבאים:

1. $\ W$ אינה ריקה.
2. הקבוצה סגורה ביחס לחיבור. כלומר - לכל $\ a,b\in W$ מתקיים $\ a+b\in W$.
3. הקבוצה סגורה ביחס לכפל בסקלר. כלומר - לכל $\ a \in W$ ו-$\lambda \in \mathbb{F}$ מתקיים $\lambda \cdot a \in W$.

מבנים נוספים

המרחב הדואלי

לכל מרחב וקטורי V, אפשר לבנות את המרחב הדואלי שלו *V. זהו מרחב כל הפונקציונלים הלינאריים על V. כלומר:

$\ V^* = \{ f : V \to F \ | \forall a,b \in V \ f( \mu a+ \nu b)= \mu f(a) + \nu f(b) \}$

באמצעות מבנה זה אפשר להגדיר על המרחב הווקטורי V מבנה של טופולוגיה חלשה (כלומר: אוסף של סביבות המאפיינות תכונות לוקליות-אנליטיות של המרחב כגון רציפות, סגירות ועוד).

בענף המתמטי של אנליזה פונקציונלית מרבים לחקור מבנה זה.

מכפלה פנימית

מכפלה פנימית היא פונקציה $\ \lang , \rang : V \times V \to \mathbb{R}$ או $\ \lang , \rang : V \times V \to \mathbb{C}$, המתאימה לכל זוג וקטורים ב- V מספר ממשי/מרוכב, כאשר V הוא מרחב וקטורי מעל השדה $\mathbb{R}$ או $\mathbb{C}$ (מרחב מסוג זה בצירוף מכפלה פנימית מכונה מרחב מכפלה פנימית). הפונקציה תקרא מכפלה פנימית אם היא מקיימת את אקסיומות המכפלה הפנימית: לינאריות והומוגניות ברכיב הראשון, סימטריות/הרמיטיות וחיוביות ($\forall v \in V , \lang v , v \rang \ge 0$ ו $\ \lang v , v \rang = 0 \iff v = 0$).

באמצעות המכפלה הפנימית אפשר להגדיר נורמה על ידי $\ \| v \| = \sqrt{ \lang v , v \rang }$ ובאופן אינטואיטיבי היא מייצגת את ה"אורך" או הגודל של הווקטור. מרחב וקטורי נורמי הוא בפרט מרחב טופולוגי מטרי כאשר המטריקה המושרית מהנורמה היא $\ d(v,w) = \| v - w \|$. כמו כן אפשר בעזרת המכפלה הפנימית לחשב "זווית" בין 2 וקטורים: $\cos {\theta} =\frac{\left\langle u,v \right\rangle }{\sqrt{\left\langle u,u \right\rangle \left\langle v,v \right\rangle }}$. אי-שוויון קושי-שוורץ מבטיח לנו שאכן קוסינוס הזווית קטן מ-1.

ראו גם

• מרחב בנך
• מרחב הילברט
• אגד וקטורי

קישורים חיצוניים

• הרצאה על תלות, פרישה בסיס וממד מתוך קורס באלגברה לינארית שניתן ב-MIT
• סימולטור להדגמה של תלות, פרישה, בסיס וממד במרחב תלת ממדי (ומושגים נוספים באלגברה לנארית)

מיזמי קרן ויקימדיה
ספר לימוד בוויקיספר: הווקטור האלגברי

נושאים באלגברה לינארית

מרחב וקטורי • תלות לינארית • צירוף לינארי • קבוצה פורשת • בסיס • קואורדינטות • מרחב מכפלה פנימית • מטריצה • כפל מטריצות • שחלוף • דטרמיננטה • דרגה • עקבה • מטריצה מצורפת • מטריצה משולשית • העתקה לינארית • טרנספורמציה נורמלית • משוואה לינארית • מערכת משוואות לינאריות • דמיון מטריצות • ערך עצמי • פולינום אופייני • לכסון מטריצות • צורת ז'ורדן • אורתוגונליות • תבנית בילינארית • מכפלה סקלרית • מכפלה וקטורית • אופרטור הרמיטי • יוניטריות • חפיפת מטריצות • טנזור • שדה