אקסיומת המקבילים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

אקסיומת המקבילים היא האקסיומה החמישית והאחרונה בספרו של אוקלידס, "יסודות", שבו פיתח את הגאומטריה האוקלידית מעקרונות היסוד שלה. האקסיומה ידועה גם בשם "האקסיומה החמישית של אוקלידס".

"אם יוארכו הישרים מספיק באותו צד, הם ייפגשו"

אוקלידס ניסח את האקסיומה החמישית כך:

אם שני ישרים ייחתכו על ידי ישר שלישי, באופן שסכום הזוויות הפנימיות שייווצרו באחד הצדדים קטן מסכום שתי זוויות ישרות, אזי אם יוארכו הישרים מספיק באותו צד הם ייפגשו.

טענה זו שקולה לניסוח המקובל של האקסיומה, הקובע כי "דרך נקודה מחוץ לישר ניתן להעביר ישר אחד ויחיד שמקביל לישר הנתון".

האקסיומה אצל אוקלידס[עריכת קוד מקור | עריכה]

בספרו של אוקלידס, "יסודות", מופיעות 5 אקסיומות. ארבע הראשונות הן:

האקסיומה החמישית, היא אקסיומת המקבילים, בולטת בין שאר האקסיומות של הגאומטריה האוקלידית באורכה ובמורכבותה. רמז לכך שאוקלידס עצמו הסתייג ממנה ניתן למצוא בכך שהוא מוכיח את עשרים ושמונה הטענות הראשונות ב"יסודות" בלי להזדקק לה.

המשפט המשלים לאקסיומת המקבילים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם סכום שתי זוויות פנימיות הוא 180° אזי הישרים מקבילים ולעולם לא ייפגשו

אוקלידס לא ציין את המשפט המשלים לאקסיומת המקבילים, הקובע כי:

אם שני ישרים ייחתכו על ידי ישר שלישי, באופן שסכום הזוויות הפנימיות שייווצרו באחד הצדדים שווה לסכום שתי זוויות ישרות, אזי הישרים מקבילים ולעולם לא ייפגשו.

ב"יסודות" מופיע משפט השקול למשפט זה (ספר I, משפט 17): סכום שתי זוויות במשולש קטן משתי זוויות ישרות. ההוכחה מתבססת על משפט קודם, הקובע: במשולש, זווית חיצונית גדולה מאחת מהזוויות הפנימיות שאינה צמודה לה. ההוכחה של משפט זה מבוססת על הנחה סמויה של אוקלידס ששני ישרים נפגשים בנקודה אחת בלבד.

במילים אחרות, המשפט המשלים לאקסיומת המקבילים נובע מארבע האקסיומות הראשונות של אוקלידס, בתוספת אקסיומה הקובעת ששני ישרים שאינם מקבילים נפגשים בנקודה אחת בלבד.

תכונות שקולות[עריכת קוד מקור | עריכה]

בגאומטריה האוקלידית ידועות תכונות רבות השקולות לאקסיומת המקבילים. אם מניחים את ארבע האקסיומות הראשונות, אז כל אחת מתכונות אלה נובעת מאקסיומת המקבילים, וגם גוררת אותה.

בין התכונות השקולות לאקסיומת המקבילים, יש כאלה שבמבט ראשון נראה כי אין להן שום קשר לתכונות של ישרים מקבילים. חלקן נחשבו כל-כך מובנות מאליהן, עד שהתפרסמו הוכחות של אקסיומת המקבילים, שהיו מבוססות בלי משים על תכונות כאלה, אף על פי שכולן כאחת אינן נובעות מארבע האקסיומות הראשונות בגאומטריה האוקלידית. להלן כמה דוגמאות:

  1. סכום הזוויות במשולש הוא 180°.
  2. קיים משולש שסכום זוויותיו הוא 180°.
  3. סכום הזוויות זהה בכל המשולשים.
  4. קיים זוג משולשים דומים שאינם משולשים חופפים (Wallis, 1693).
  5. כל משולש ניתן לחסום במעגל (בוליי, 1851).
  6. אם במרובע שלוש זוויות הן זוויות ישרות, אז גם הזווית הרביעית היא זווית ישרה.
  7. קיים מרובע בו כל הזוויות הן זוויות ישרות.
  8. קיים זוג ישרים שנמצאים במרחק קבוע זה מזה.
  9. שני ישרים המקבילים לישר שלישי, מקבילים זה לזה.
  10. בהינתן שני ישרים מקבילים, ישר החותך את אחד מהם בהכרח חותך גם את השני.
  11. במשולש ישר-זווית, ריבוע היתר שווה לסכום ריבועי שתי הצלעות הנותרות (משפט פיתגורס).
  12. אין חסם עליון לשטח של משולש‏[1] (גאוס, 1799).

למעשה, גם הניסוח המקובל של האקסיומה כיום הוא תכונה השקולה לניסוח הראשוני של אוקלידס. הניסוח המקובל הופיע לראשונה בפירושו של הפילוסוף והמתמטיקאי פרוקלוס לכתביו של אוקלידס. פרוקלוס, בן המאה החמישית, ניסה אף הוא להוכיח את האקסיומה על בסיס האקסיומות האחרות, וכשל בכך.

נסיונות להוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

במשך אלפיים שנה נעשו ניסיונות לייתר את האקסיומה, כלומר להוכיח שהיא נובעת מהאקסיומות האחרות. ניסיונות אלו הביאו במאה ה-19 לפיתוח גאומטריות לא אויקלדיות, שבהן האקסיומה אינה נכונה. העובדה שלא נמצאה פירכה בגאומטריות אלו, מהווה עדות לכך שאקסיומת המקבילים היא אכן אקסיומה.

פיתוח גאומטריות לא אוקלידיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – גאומטריה לא אוקלידית

המאמצים להוכחת האקסיומה עלו בתוהו, עד שבראשית המאה התשע-עשרה הבינו בויאי, לובצ'בסקי וגאוס שנדרש כיוון שונה. כתוצאה מכך פותחו גאומטריות לא אוקלידיות, שבהן אקסיומת המקבילים מוחלפת באקסיומה אחרת: בגאומטריה ההיפרבולית- דרך כל נקודה שמחוץ לישר עוברים אינסוף ישרים מקבילים לישר זה, ובגאומטריה פרויקטיבית אין ישרים מקבילים כלל. באורח פלא התברר כעבור שנים לא רבות שהגאומטריות הלא־אוקלידיות אינן רק תרגיל ביסודות האקסיומטיים של הגאומטריה: כשם שהגאומטריה האוקלידית מהווה בסיס למכניקה של אייזק ניוטון, כך מהווה הגאומטריה הלא-אוקלידית המיושמת על יריעה פסאודו-רימנית בסיס לתורת היחסות הכללית.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ Euclid's Fifth Postulate, באתר Cut The Knot