חוג כהן-מקולי

בתורת החוגים, חוג כהן-מקולי הוא חוג נתרי קומוטטיבי, שהמיקומים שלו באידאלים מקסימליים הם בעלי סדרות רגולריות ארוכות "ככל האפשר" (ראו הגדרה בהמשך). חוגי כהן-מקולי מופיעים בהקשרים גאומטריים, קוהומולוגיים וקומבינטוריים. לדוגמה, חוג השמורות הפולינומיות ביחס לפעולה של חבורה סופית הוא תמיד כהן-מקולי.

הגדרה

סדרות רגולריות

סדרת אברים $\ x_1,\dots,x_t \in I$ באידאל I של חוג קומוטטיבי R היא סדרה רגולרית אם לכל i, $\ x_{i+1}$ הוא רגולרי (כלומר, אינו מחלק אפס) בחוג המנה $\ R/\langle x_1,\dots,x_i\rangle$. לכל הסדרות הרגולריות המקסימליות אותו אורך, והוא אינו יכול לעלות על ממד קרול של החוג.

למשל, בתת-החוג $\ F[x^4,x^3y,xy^3,y^4]$ של חוג הפולינומים בשני משתנים מעל השדה F, האבר $, x^4$ הוא רגולרי, אבל בחוג המנה כפל באיבר $\ x^6y^2$ (שאינו אפס) שולח לאפס כל איבר של האידאל המקסימלי הטבעי; לכן 1 הוא האורך המקסימלי של סדרה רגולרית באידאל הזה, בעוד שהחוג עצמו מממד 2.

חוגי כהן-מקולי

חוג נתרי קומוטטיבי מקומי הוא חוג כהן-מקולי אם יש לו סדרה רגולרית שאורכה שווה לממד שלו. חוג נתרי קומוטטיבי הוא כהן-מקולי אם כל מיקום שלו באידאל מקסימלי מקיים תכונה זו.

דוגמאות ופעולות מותרות

כל חוג מקומי רגולרי הוא כהן-מקולי. כל חוג קומוטטיבי ארטיני הוא כהן-מקולי. כל תחום שלמות נתרי בעל ממד קרול 1 הוא כהן-מקולי.

חוג קומוטטיבי נתרי R הוא כהן-מקולי אם ורק אם חוג הפולינומים $\ R[x]$ הוא כזה. כל מיקום $\ S^{-1}R$ של חוג כהן-מקולי R הוא כהן-מקולי בעצמו. אם R הוא כהן-מקולי ו-$\ I = \langle x_1,\dots,x_n\rangle$ אידאל מגובה n, אז הסדרה $\ x_1,\dots,x_n$ רגולרית, והמנה $\ R/I$ היא כהן-מקולי. ההשלמה ה-M-אדית של חוג מקומי היא כהן-מקולי אם ורק אם החוג עצמו הוא כזה.

אם R חוג כהן-מקולי ו-G חבורה סופית הפועלת על R שסדרה הפיך ב-R, אז גם חוג השמורות $\ R^G$ הוא כהן-מקולי. בפרט, חוג השמורות הפולינומיות ביחס לפעולה של חבורה סופית (עם סדר זר למאפיין של שדה הבסיס) הוא כהן-מקולי. תכונה זו נכונה לכל חבורה רדוקטיבית (חבורה שכל הצגה סוף-ממדית שלה מתפרקת לסכום ישר של הצגות אי-פריקות) הפועלת על חוג פולינומים מעל שדה סגור אלגברית.

פירוש קוהומולוגי

לאורך המקסימלי של סדרה רגולרית ב-I יש פירוש קוהומולוגי: הוא שווה לערך הקטן ביותר של i שעבורו $\ \operatorname{Ext}^i(R/I,R) \neq 0$.

גרותנדיק הוכיח שבכל חוג קומוטטיבי נתרי מקומי, אם t הוא האורך המקסימלי של סדרה רגולרית ו-d הוא הממד, אז $\ H^i = \lim_{\rightarrow} \operatorname{Ext}^i(R/M,R)$ שווה לאפס עבור i מחוץ לקטע $\ [t,d]$, ושונה מאפס בקצוות.

חוגי גורנשטיין

חוג כהן-מקולי מקומי R, עם אידאל מקסימלי M, נקרא חוג גורנשטיין אם ההשלמה ה-M-אדית של R שווה ל-$\ \operatorname{Hom}_R(H^d,E)$, כאשר E הוא הסגור האינג'קטיבי של המודול $\ R/M$.

כל חוג מקומי רגולרי הוא גורנשטיין. יהי F שדה, אז חוג טורי החזקות הפורמליים $\ F[[t^2,t^3]]$ הוא גורנשטיין אבל אינו רגולרי. חוג טורי החזקות הפורמליים $\ F[[t^3,t^4,t^5]]$ הוא כהן-מקולי אבל אינו גורנשטיין.

ראו גם

• שמורה פולינומית