משפט הנורמליזציה של נתר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, ובמיוחד אלגברה קומוטטיבית, משפט הנורמליזציה של נתר הוא תוצאה טכנית חשובה שהוכיחה אמי נתר.

ניסוח המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

המשפט קובע שכל תחום שלמות שהוא אלגברה נוצרת סופית מעל שדה K, הוא הרחבה שלמה של חוג פולינומים. כלומר, קיימים באלגברה איברים בלתי תלויים אלגברית y_1,\dots,y_d \in A כך שכל איבר \,a \in A מאפס פולינום מתוקן עם מקדמים ב-\ B=K[y_1,\dots,y_d].

מקרה פרטי של המשפט הוא הניסוח הבא:

יהי K שדה אינסופי ו-A=K[a_1,...,a_n] אלגברה נוצרת סופית מעל K. אזי קיימים y_1,...,y_m עם m \le n כך ש-y_1 , ... , y_m בלתי-תלויים אלגברית ו-A היא מודול נוצר סופית מעל B = K[y_1,...,y_m], כלומר: קיימים x_1,...,x_\ell (עם \ell \in \mathbb{N} סופי) כך ש-A = B x_1 + ... + B x_\ell.

משמעות גאומטרית[עריכת קוד מקור | עריכה]

במונחים גאומטרים, B הוא חוג הקואורדינטות של המרחב האפיני \,K^d, A הוא חוג הקואורדינטות של יריעה אלגברית כלשהי (שחייבת להיות מאותו ממד כמו B). מכיוון ש \,B\subseteq A, הרי שקיים הומומורפיזם הכלה:

\,\phi:B\rightarrow A, \,\phi(x) = x

המורפיזם המושרה על הסכמות אפיניות הוא מורפיזם סופי: \,\phi:Spec(A)\rightarrow Spec(B) המסקנה היא שכל יריעה אלגברית היא כיסוי מסועף של מרחב אפיני.

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • David Mumford. The Red Book of Varieties and Schemes: Includes the Michigan Lectures (1974) on Curves and Their Jacobians, 2nd ed., Springer-Verlag, 1999. ISBN 3-540-63293-X. 
  • Klaus Hulek. Elementary Algebraic Geometry. AMS, 2003. ISBN 0-8218-2952-1.