מודול מוצלב

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, מודול מוצלבאנגלית: crossed module) הוא מבנה מתמטי המורכב מ-2 חבורות G ו-H, כאשר G פועלת על H (ניתן לדון במקרה של פעולה שמאלית (g,h) \mapsto ^g = g \cdot h או פעולה ימנית (h,g) \mapsto h^g = h \cdot g), ויש הומומורפיזם של חבורות

 d\colon H \longrightarrow G, \!

שמכבד את פעולת ההצמדה של G על עצמה

 d(^g h) = gd(h)g^{-1} \!

ומקיים את זהות פייפר (Peiffer):

 ^{d(h_{1})}{h_2} = h_{1}h_{2}h_{1}^{-1} \! .

כאשר מגדירים מודול מוצלב עם פעולה ימנית h^g = h \bullet g, רושמים במקום:

d(h^g) = g^{-1} d(h) g

וזהות פייפר היא

h_2^{d(h_1)} = h_1^{-1} h_2 h_1.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • המודול המוצלב הטריוויאלי \mathrm{id} : G \to G הוא מודול מוצלב ימני עם הפעולה h^g = g^{-1} h g ושמאלי עם ^gh=g h g^{-1}.
  • תהי H < G תת-חבורה נורמלית ו-d : H \hookrightarrow G הומומורפיזם השיכון. זהו מודול מוצלב (ימני) עם הפעולה h^g = g^{-1} h g. הנורמליות מבטיחה ש-h^g = g^{-1} h g \in H ולכן הפעולה מוגדרת היטב.
  • d : H \twoheadrightarrow G כאשר d על והגרעין של d מרכזי, כלומר: \ker (d) \subseteq Z(H).
  • יהי d : G \to \mathrm{Aut}(G) כאשר d שולח כל איבר g \in G לאוטומורפיזם הפנימי x \mapsto g^{-1} x g בחבורות האוטומורפיזמים \mathrm{Aut}(G), והפעולה היא הפעולה הטבעית של האוטומורפיזם: h^g = [\![ x \mapsto g^{-1} x g ]\!](h)=g^{-1} h g (פעולה ימנית). אזי d : G \to \mathrm{Aut}(G) הוא מודול מוצלב (ימני).

שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

למודולים מוצלבים יש שימושים בחישוב קוהומולוגיות באלגברה הומולוגית ובפרט עם גישת חבורות-2 וגרופואידים. כמו כן, למושג זה קשר חזק לטופולוגיה אלגברית וחבורות הומוטופיה.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.