מודול מוצלב

במתמטיקה מודול מוצלב (crossed module) הוא מבנה מתמטי המורכב מ-2 חבורות G ו-H, כאשר G פועלת על H (ניתן לדון במקרה של פעולה שמאלית $(g,h) \mapsto g \bullet h$ או פעולה ימנית $(h,g) \mapsto h \bullet g$ ), ויש הומומורפיזם של חבורות

$d\colon H \longrightarrow G, \!$

שמכבד את פעולת ההצמדה של G על עצמה

$d(^g h) = gd(h)g^{-1} \!$

ומקיים את זהות פייפר (Peiffer):

$^{d(h_{1})}{h_2} = h_{1}h_{2}h_{1}^{-1} \!$ .

כאשר מגדירים מודול מוצלב עם פעולה ימנית $h^g = h \bullet g$ , רושמים במקום:

$d(h^g) = g^{-1} d(h) g$

וזהות פייפר היא

$h_2^{d(h_1)} = h_1^{-1} h_2 h_1$ .

דוגמאות [עריכה]

המודול המוצלב הטריוויאלי $\mathrm{id} : G \to G$ הוא מודול מוצלב ימני עם הפעולה $h^g = g^{-1} h g$ ושמאלי עם $^gh=g h g^{-1}$ .
תהי $H < G$ תת-חבורה נורמלית ו- $d : H \hookrightarrow G$ הומומורפיזם השיכון. זהו מודול מוצלב (ימני) עם הפעולה $h^g = g^{-1} h g$ . הנורמליות מבטיחה ש- $h^g = g^{-1} h g \in H$ ולכן הפעולה מוגדרת היטב.
$d : H \twoheadrightarrow G$ כאשר d על והגרעין של d מרכזי, כלומר: $\ker (d) \subseteq Z(H)$ .
יהי $d : G \to \mathrm{Aut}(G)$ כאשר d שולח כל איבר $g \in G$ לאוטומורפיזם הפנימי $x \mapsto g^{-1} x g$ בחבורות האוטומורפיזמים $\mathrm{Aut}(G)$ , והפעולה היא הפעולה הטבעית של האוטומורפיזם: $h^g = [\![ x \mapsto g^{-1} x g ]\!](h)=g^{-1} h g$ (פעולה ימנית). אזי $d : G \to \mathrm{Aut}(G)$ הוא מודול מוצלב (ימני).