מודל מתמטי

ערך זה עוסק במודל של מערכת מבוסס מתמטיקה. אם התכוונתם למודל בלוגיקה מתמטית, ראו מודל (לוגיקה מתמטית).

מודל מתמטי הוא מודל המשתמש בשפה מתמטית על מנת לתאר מערכת. מודלים מתמטיים נמצאים בשימוש נרחב לא רק בתחומי מדעי הטבע וההנדסה (כגון פיזיקה, ביולוגיה, כימיה ומדעי כדור הארץ) אלא גם במדעי החברה (כגון כלכלה, פסיכולוגיה, סוציולוגיה, מדעי המדינה) ולמעשה בכל תחום המשתמש במתמטיקה על מנת לתאר את עולמו. תהליך הפיתוח של המודל המתמטי נקרא "מידול מתמטי" ועל פי רוב הוא מצריך הבנה מתמטית טובה מספיק המאפשרת למפתח המודל להשתמש בכלים המתמטיים הנדרשים על מנת לתאר את המערכת אותה הוא חוקר.

קיימים סוגים רבים של מודלים מתמטיים, בין היתר כמערכת דינאמית, כמודל סטטיסטי, משוואה דיפרנציאלית, תהליך סטוכסטי ואף כמשחק בתורת המשחקים ומודל אחד אף יכול להכיל מרכיבים שונים היוצרים יחד את המודל המתמטי של המערכת הכוללת.

מטרת המודל המתמטי (כמו כל מודל אחר) היא לספק תיאור מופשט של המציאות, שיהיה מספיק ריאלי ומספיק גמיש כדי לבצע ניתוחים, הערכות, חיזוי והסקת מסקנות על המערכת במציאות. ציטוט ידוע של הסטטיסטיקאי ג'ורג' בוקס בהקשר זה הוא ש"כל המודלים שגויים, אך חלקם מועילים", כלומר אף מודל אינו מדויק לחלוטין והוא בסך הכל פישוט של מציאות מסוימת, אך לעתים בחינת המודל מעלה תובנות מעניינות וחשובות להבנת המערכת הכללית. למעשה, השימוש במודל מתמטי מאפשר יישום עקרונות מתחום אחד (מתמטיקה) כדי לפתור בעיות מתחום אחר -- למשל, מדעי החברה.

דוגמאות

• הרמן אבינגהאוס מידל מתמטית את תהליך השכחה כתהליך דעיכה אקספוננציאלי (פונקציה מעריכית עם e כבסיס), דהיינו $\ R=R_0e^{- \lambda t}$ כאשר $R_0$ הינו רמת הזכירה הבסיסית אשר ממנה לא סביר שניתן לסגת עוד, t הוא הזמן שעבר מאז הלמידה ו-λ היא הפרמטר הקובע באיזה קצב הזיכרון ידעך. מובן לכל בר דעת שמודל זה אינו מתאר במדויק את תהליך השכחה, אך יחד עם זאת המידול המתמטי נותן לחוקר אפשרות לחזות ולנתח אירועים דומים.
• גידול אוכלוסין ניתן למדל באמצעות תהליך גידול אקספוננציאלי, דהיינו $\ N=N_0e^{n t}$, כאשר המעריך הוא חיובי הפעם. מודל מסוג זה מנבא את גודל האוכלוסייה כעבור t יחידות זמן אם קצב גידול האוכלוסייה הוא n אנשים ליחידת זמן ו- $N_0$ הוא גודל האוכלוסייה המקורית.
• בפיזיקה עוסקים על פי רוב במידול מתמטי של תופעות פיזיקליות. כללי המכניקה הקלאסית של אייזק ניוטון היו מודל שבא לתאר מדוע התפוח נופל מהעץ בעוד שתורת היחסות של אלברט איינשטיין באה להסביר מדוע המודל הזה אינו מסביר תופעות הקשורות באור.
• תורת התורים היא ענף בחקר ביצועים המבצע אופטימיזציה ומחקר למערכות תורים, על פי רוב באמצעות מודל תורים כזה או אחר שאינו מהווה אלא אבסטרקציה של תור אמיתי באמצעות מערכת משוואות מתמטיות (שרשרת מרקוב במקרה הזה). על אף ההבדלים המהותיים בין המודל למציאות, התובנות שניתן לקבל ממחקר של מודל כזה מהוות בסיס מתמטי מוצק שעל פי רוב עדיף על מודלים לא-כמותיים אחרים.

ערך זה הוא קצרמר בנושא מדעים. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.