משפט קיילי

בתורת החבורות, משפט קיילי קובע שכל חבורה איזומורפית לתת חבורה של חבורה סימטרית כלשהי, וכך מציג את החבורה כחבורת תמורות. המשפט מראה שאפשר ללמוד את כל החבורות הסופיות באמצעות טיפול אחיד בתמורות, והוא נחשב לאחד מ"משפטי ההצגה" הקלאסיים: כל עצם מופשט (חבורה) הוא למעשה אובייקט קונקרטי ומוכר. את המשפט הוכיח המתמטיקאי ארתור קיילי.

העידון של משפט קיילי

לפי משפט קיילי, אפשר לשכן חבורה מסדר n כתת-חבורה של החבורה הסימטרית $\ S_n$. ההוכחה מבוססת על פעולה נאמנה הנקראת "הפעולה הרגולרית של החבורה על עצמה" (ראו לעיל). למשפט יש הכללה חשובה, הידועה בשם העידון של משפט קיילי: אם ל- $\ G$ יש תת-חבורה $\ H$ מאינדקס $\ n$, אז יש העתקה $\ G\rightarrow S_n$ שהגרעין שלה מוכל ב- $\ H$. נובע מזה שלחבורה עם תת-חבורה מאינדקס $\ n$ מוכרחה להיות תת חבורה נורמלית מאינדקס המחלק את $\ n!$. בפרט: לחבורה פשוטה מסדר שאינו מחלק את $\ n!$, אין תת-חבורות מאינדקס קטן מ-$\ n$. את העידון מוכיחים בעזרת הפעולה של G על אוסף המחלקות $\ G/H$ (גם כאשר אוסף זה אינו חבורת מנה), על ידי כפל משמאל: $\ g : xH \mapsto gxH$. הפעולה הזו אינה בהכרח נאמנה; אוסף האיברים הפועלים פעולה טריוויאלית שווה לחיתוך כל תת-החבורות הצמודות ל- H.

דוגמה

נבחר את החבורה $\ G= \mathbb{Z}_4$ ונשכן אותה ב$\ S_4$ ,כלומר נמצא תת חבורה של $\ S_4$ שאיזומורפית ל-$\ G$.

נגדיר העתקה $\ \varphi :\mathbb{Z}_4\rightarrow S_4$.

$\varphi(0)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$

$\varphi(1)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 0 \end{bmatrix}$

$\varphi(2)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$\varphi(3)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$

התמורות שהגדרנו אינן מקריות, בנינו אותן כך שמספר בשורה העליונה עובר לסכום שלו ועוד המספר משמאל. לדוגמה בתמורה השנייה המספר 0 עובר ל-0+1=1.

לכן, השורות התחתונות של התמורות הן לוח החיבור של החבורה $\ \mathbb{Z}_4$.

שימו לב לכך שההעתקה $\ \varphi$ היא הומומורפיזם, לדוגמה: $\ \varphi(1)^2=\varphi(2)=\varphi(1+1)$.

הוכחת המשפט

תהא $\ G$ חבורה סופית מסדר $\ n$. יש לבנות הומומורפיזם מ- G אל החבורה הסימטרית $\ S_n$. לשם כך, מספיק להתאים לכל איבר של G תמורה על האיברים של G עצמה (אפשר לזהות את התמורות על G עם התמורות על כל קבוצה אחרת באותו גודל, על ידי התאמה של האיברים זה לזה). במלים אחרות, יש לבנות פונקציה $\ \phi : G \rightarrow S_G$, כאשר $\S_G$ היא אוסף התמורות על G. את התמורה $\ \phi(g) : G \rightarrow G$ מגדירים לפי כפל משמאל: $\ (\phi(g))(x) = gx$. זוהי תמורה, משום שאם $\ gx=gy$, אז $\ x=y$ (שהרי G חבורה, וכל איבריה הפיכים). בנוסף לזה, פעולת $\ \phi(gh)$ על איבר x שווה ל- $\ (\phi(gh))(x) = (gh)x$, וזה שווה ל- $\ \phi(g)(\phi(h)(x)) = \phi(g)(hx) = g(hx)$, בגלל האסוציאטיביות של G. לבסוף, אם $\ \phi(g)=\phi(h)$ אז גם $\ g = \phi(g)(1) = \phi(h)(1) = h$, ולכן $\ \phi$ חד-חד-ערכית.

ראו גם

• הלמה של יונדה