סריגי בראבה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

סריגי בְּרָאבֶה הם מחלקות של סריגים, הממוינות לפי מידת הסימטריה של הסריג. למיון זה חשיבות רבה במיון של גבישים על-פי המבנה המרחבי שלהם, ובתחומים אחרים בפיזיקה של מצב מוצק. סריגי בראבה קרויים על שמו של הפיזיקאי הצרפתי אוגוסט בראבה (Auguste Bravais) שגילה אותם ב-1848.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

סריג בראבה הוא סריג בעל אינסוף נקודות, הנוצר באמצעות אוסף בדיד של פעולות הזזה, כך שמתקיימת התכונה הבאה:

הסריג נראה אותו דבר, מכל נקודה בסריג בה מביטים עליו.

ניתן להראות שתכונה זו שקולה להגדרה המתמטית הבאה, שמראה כיצד ליצור סריג בראבה n-ממדי בדרך קונסטרוקטיבית. נבחר n וקטורים בלתי תלויים לינארית, קבוצה זו נקראת "בסיס פרימיטיבי לסריג" (לפעמים "בסיס ראשוני"), ואז סריג בראבה שהיא מייצרת הוא הקבוצה הבאה

\ L = \left\{ \vec{R} = \lambda_1 \vec{e_1} + \cdots + \lambda_n \vec{e_n} \ | \ \lambda_1 , \cdots , \lambda_n \in \mathbb{Z} \right\}

כלומר, הסריג נפרש על ידי כל הצירופים הלינאריים במקדמים שלמים של וקטורי הבסיס הפרימיטיבי. קבוצה זו סגורה ביחס לחיבור וחיסור וקטורי סריג, וכן ביחס לכפל בסקלר שהוא מספר שלם.

סריג בראבה הוא סימטרי ביחס להזזה בווקטור סריג. כלומר: לכל נקודה בסריג, אם נזיז את הסריג בווקטור פרימיטיבי(כלמר בווקטור של הבסיס הפרימיטיבי), אז נקבל בחזרה את אותו סריג. באופן מתמטי: L+v=L. כמו כן הוא סימטרי ביחס לשיקוף מלא (כלומר: \ \vec{R} \to - \vec{R}).

לעתים קרובות הסריג סימטרי גם ביחס לסיבובים בזוויות מסוימות. זוויות אלה נקבעות על ידי מבנה הסריג עצמו.

n-וקטורים אלו מגדירים לנו פאון מקבילי היוצר "תא יחידה פרימיטיבי" שאיתו אפשר לרצף באופן מחזורי ושלם את הסריג.

דוגמה: סריג קובי[עריכת קוד מקור | עריכה]

סריג קובי פשוט

סריג קובי פשוט הוא סריג שכל צלעותיו זהות באורכן וניצבות זו לזו. למעשה, ניתן לתארו כריצוף כל המרחב התלת-ממדי בקוביות (באופן דומה לריצוף דף דו-ממדי במשבצות ריבועיות).

באופן מתמטי, סריג קובי בעל צלע a (אורך אופייני זה נקרא "קבוע הסריג") נפרש (במקדמים שלמים) על ידי הבסיס הפרימיטיבי הבא:

\ \vec{e_1} = a \hat{x} \ ; \ \vec{e_2} = a \hat{y} \ ; \vec{e_3} = a \hat{z}

תא היחידה הפרימיטיבי כאן הוא קובייה שנפחה a3.

הסריג הקובי מופיע בהרבה מינרלים וגבישים, לרבות מתכות. הוא פשוט לתיאור וטיפול מתמטי ולכן שימושי.

סריגי בראבה תלת ממדיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להראות שיש בסך הכול 14 סריגי בראבה תלת-ממדיים אפשריים. הללו מתבססים על 7 פאונים מקבילים (7 מערכות צירים גבישיות), עם 4 אפשרויות הוספת נקודות סריג נוספות במרכזי הפאות או הגוף.

ארבע האפשרויות להוספת נקודות ("centering") הם:

  • פינות בלבד (P) - נקרא Primitive centering.
  • ממורכז גוף (B או I) - מוסיפים נקודת סריג אחת במרכז כל תא - באנגלית נקרא Body centered או BCC.
  • ממורכז פאה (F) - מוסיפים נקודת סריג אחת בכל פאה של תא היחידה -באנגלית נקרא Face centered או FCC.
  • מרכז חד-פאה (C) - בוחרים זוג אחד מפאותיו של תא היחידה ומוסיפים להם נקודת סריג אחת לכל פאה (הוספת נקודת סריג בפאה השנייה מתחייבת מסימטריה ביחס להזזה בווקטור סריג). נשים לב שאפשרות זו היא בעצם 3 אפשרויות, שכן יש לבחור לאיזה פאה נוסיף את הנקודות.

בחישוב נאיבי נובע שלפי האמור לעיל יש 42 (7 צירים כפול 6 מרכוזים) מבני סריג אפשריים במרחב תלת ממדי, ברם כאשר מנסים לבנות אותם מגלים שהרבה מבנים פשוט חוזרים על עצמם והם זהים. עם הפחתת הכפילויות מגלים שיש בסך הכול 14 סריגים תלת-ממדיים השונים זה מזה, והם מסוכמים בטבלה להלן:

מערכות גבישים סריג:
טריקליני טריקלינית
מונוקליני פשוט ממורכז בסיס
מונוקליני, פשוט מונוקליני, ממורכז
אורתורומבי פשוט ממורכז בסיס ממורכז גוף ממורכז פאה
אורתורומבי, פשוט אורתורומבי, ממורכז בסיס אורתורומבי, ממורכז גוף אורתורומבי, ממורכז פאה
משושה משושה
רומבוהדרלי רומבוהדרלי
טטרגונלי פשוט ממורכז גוף
טטרגונלי, פשוט טטרגונלי, ממורכז-גוף
קובייתי פשוט ממורכז גוף ממורכז פאה
Cubic, simple קובי, ממורכז גוף קובי, ממורכז פאה

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]