מתנד הרמוני

מתנד הרמוני (או אוסצילטור הרמוני) הוא מערכת מכנית בה פועל על גוף נתון כוח מתכונתי (פרופורציונלי) להעתק הגוף ובכיוון מנוגד לו:

$\ \vec{F} = -K \vec{\Delta x}$, כאשר $\ \vec{F}$ הוא הכוח, $\ K$ הוא קבוע המתנד ו- $\ \vec{\Delta x}$ הוא ההעתק.

באנלוגיה, כל מערכת פיזיקלית שמאופיינת מתמטית בצורה דומה נקראת אף היא "מתנד הרמוני". חשיבותו של מודל המתנד ההרמוני נובעת מכך שתופעות פיזיקליות רבות מתוארות על ידי מערכות שמתנהגות, ברמות קירוב שונות, כמתנד הרמוני. לדוגמה, מסה התלויה על קפיץ, מעגלים חשמליים מסוימים, גלים בחומר, מיתרי גיטרה או כלי פריטה אחר, ואפילו גלי אור במובן מסוים. במובן זה המתנד ההרמוני מהווה מודל פיזיקלי.

מתנד הרמוני, בפרט מתנד הרמוני פשוט, הוא אחת מהמערכות הפשוטות והבסיסיות ביותר בפיזיקה. זוהי מערכת פתירה באופן אנליטי כמעט בכל תורה פיזקלית (מכניקה קלאסית, תרמודינמיקה, מכניקת הקוונטים, תורת היחסות ועוד) ומשמשת ככלי עזר חשוב בלימוד התאוריות השונות והבנתן. יתרה מכך, מסתבר שניתן לקרב מערכות רבות ומורכבות - שאינן פתירות באופן אנליטי או פשוט - על ידי מתנדים הרמוניים, ובכך להגיע להבנה רבה ואף לפתרון מקורב לבעיה.

מתנד הרמוני פשוט

מתנד הרמוני פשוט הוא מערכת המצייתת למשוואת התנועה:

$\ddot x + \omega_0 ^2 x = 0$

כאשר $\ \omega_0^2$ הוא גודל חיובי כלשהו. נציין כי הסימון $\ \ddot x$, כנהוג בפיזיקה, פירושו: הנגזרת השניה של $\ x$ לפי הזמן, או במילים אחרות- התאוצה $\ a$.

כאמור, x יכול לייצג כל גודל - מטען חשמלי, העתק, עצמת שדה, וכו'. לצורך המחשה, בניתוח זה נתייחס למתנד הבנוי ממסה m המחוברת לקפיץ בעל קבוע k, ומרוחקת מרחק x מנקודת שיווי המשקל. במקרה המתואר, לפי החוק השני של ניווטון משוואת הכוחות היא:

$F= -kx = m \ddot x$.

אם נעביר אגפים ונחלק במסה, נקבל: $\ \ddot x + \frac{k}{m}x = 0$

שזו בדיוק משוואת התנועה של מתנד הרמוני הרשומה דלעיל. במקרה שלנו, קיבלנו: $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$.

כיוון שזו משוואה דיפרנציאלית מסדר שני, אין לה פתרון יחיד, אך ניתן לייצג את כל הפתרונות האפשריים למשוואה זו על ידי הביטוי הכללי:

$\ x(t) = X_0 \sin ( \omega_0 t + \phi)$.

כאשר:

• $\ \omega_0$ היא התדירות הזוויתית של תנודות המערכת.
• $\ X_0$ היא משרעת התנודה. המשרעת היא ההעתק המקסימלי של המערכת.
• $\ \phi$ נקראת המופע של המערכת, או הפאזה שלה. גודל זה מתאר את מצב המערכת בזמן $\ t=0$.

הכוונה במושג פתרון כללי הוא שכל פתרון של המשוואה ניתן לייצג בצורה זו, כאשר הקבועים $\ X_0, \phi$ משתנים לפי תנאי ההתחלה - מיקומה ומהירותה ההתחלתית של המסה.

העתק, מהירות ותאוצה בתנועה הרמונית פשוטה. בדוגמה זו $\ \phi$ (המופע) היא אפס. אנו רואים, למשל, כי לאחר רבע זמן מחזור ההעתק הוא מקסימלי וחיובי, התאוצה מקסימלית ושלילית, והמהירות מתאפסת. לאחר חצי זמן מחזור ההעתק והתאוצה מתאפסים, והמהירות מקסימלית ושלילית.

הפתרון המתמטי המפורט מופיע בהמשך הערך. מהירות המסה היא הנגזרת לפי הזמן של ההעתק:

$\ v(t) = \omega X_0 \cos ( \omega t +\phi )= V_0 \cos ( \omega t +\phi )$. כאשר $\ V_0 = \omega_0 X_0$ היא המהירות המקסימלית של התנודה המתקבלת בנקודת שיווי המשקל.

באופן דומה, תאוצת המסה היא נגזרת המהירות לפי הזמן:

$\ a(t) =- \omega^2 X_0 \sin ( \omega t +\phi ) = -a_0 \sin ( \omega t +\phi )$. כאשר $\ a_0 = \omega_0^2 X_0$ היא התאוצה המקסימלית של התנודה המתקבלת בנקודות הקצה.

מפתרון המשוואה ניתן ללמוד רבות על המערכת:

• התנהגות המערכת היא מחזורית. זמן המחזור שווה ל $\ T = \frac{2 \pi}{\omega}$ והתדירות שווה ל $\ f \equiv \frac {1} {T} = \frac{\omega}{2 \pi}$. התדירות היא מספר המחזורים שהמערכת מבצעת ביחידת זמן (למשל, שנייה).
• תנועת המערכת חסומה במרחב.
• התדירות לא תלויה בתנאי ההתחלה אלא רק בקבועי המערכת (המסה וקבוע הקפיץ).
• המהירות מקסימלית בנקודת שיווי המשקל, בה התאוצה מתאפסת. התאוצה מקסימלית בנקודות בהן ההעתק מקסימלי, ושם המהירות מתאפסת (ראה תרשים).
• במערכת מתקיים שימור אנרגיה.

נתעכב מעט על הנקודה השלישית: כאמור, אנו רואים כי תדירות התנודות נקבעת על ידי נתוני המערכת (מסת המשקולת וקבוע הקפיץ), ואינה תלויה במשרעת התנועה או במהירותה ההתחלתית. זוהי תכונה חשובה שאיפשרה, בין השאר, לבנות שעונים המבוססים על מטוטלת. כיוון שמטוטלת היא בקירוב מתנד הרמוני (עבור זוויות קטנות), זמן המחזור שלה אינו תלוי במשרעת התנועה, ולכן ניתן להשתמש בה למדידת זמנים.

מתנד הרמוני מרוסן

מערכת של מסה, קפיץ ובוכנה המפעילה כוח חיכוך מתכונתי למהירות התנועה

בתיאור הקודם, הנחנו כי אין חיכוך במערכת. נראה איך מתנהג המתנד במקרה בו יש חיכוך. משוואה של מתנד הרמוני מרוסן היא

$\ \ddot x + b \dot x + \omega_0^2 x = 0$

אנו מניחים כי גודל כוח החיכוך מתכונתי למהירות הגוף. כוח משכך התלוי במהירות (נקרא גם כוח סטוקס) הוא נפוץ בטבע - חיכוך עם האוויר או עם נוזל, התנגדות של מעגל חשמלי, ועוד. במודל שלנו, נדמה כי כוח השיכוך נגרם על ידי בוכנת אוויר, כבאיור. נניח כי הכוח מתכונתי למהירות ונתון על ידי $\ f_{friction}=-b v = - b \dot x$, כאשר b הוא מקדם הפרופורציה. נשים לב כי מתנד הרמוני פשוט הוא מקרה פרטי של מתנד הרמוני מרוסן, בו $\ b=0$. כעת משוואת הכוחות נראית כך:

$F= -kx - b \dot x = m \ddot x$

ושוב על ידי סידור אלגברי פשוט מגיעים למשוואה המבוקשת:

$\ \ddot x + \frac{b}{m} \dot x + \omega_0^2 x = 0$. בהנחה שהחיכוך קטן מספיק, הפתרון הכללי למשוואה זו הוא:

$\ x(t) =X_0 e^{-t / \tau} \sin(\omega t+ \phi)$, כאשר:

• $\ \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$, כמקודם.
• $\ \tau = \frac{2m}{b}$, הוא הזמן האופייני של המערכת. זהו הזמן בו משרעת התנודה דועכת בפקטור e.
• $\omega = \sqrt{ \omega_0 ^2 -\frac{1}{\tau^2}}$, היא תדירות התנועה החדשה.
• הביטוי $\ X_0 e^{-\frac {t}{\tau}}$, הוא למעשה משרעת התנודה, הדועכת באופן מעריכי.

פתרון מפורט מופיע בהמשך הערך. זוהי למעשה תנודה הרמונית, המתבצעת בתדירות נמוכה מעט מהתדירות הטבעית (תמיד מתקיים $\ \omega_0 > \omega$). במערכת זו, בניגוד לתנודה ההרמונית הפשוטה, יש איבוד אנרגיה מתמיד לחיכוך.

לעומת זאת, אם החיכוך גדול מדי לא יתרחשו בכלל תנודות, והתנועה תדעך מהר מאוד, באופן מעריכי. קיים ערך מקסימלי של שיכוך, כך שעבור ערכי שיכוך גדולים ממנו לא יתרחשו תנודות. ערך זה נקרא השיכוך הקריטי, והוא נתון על ידי $\ b _{critical} = 2\sqrt{km}$.

בנוגע לטיפול במתנד הרמוני מאולץ, ראו: תהודה.

בנוגע לטיפול במתנד הרמוני לפי מכניקת הקוונטים ראו: מתנד הרמוני קוונטי.

דוגמאות למערכות שמקיימות תנודות הרמוניות

מטוטלת

ערך מורחב – מטוטלת מתמטית

מטוטלת מתמטית פשוטה היא מערכת שמקיימת תנועה הרמונית רק בקירוב. תנועתה המלאה היא מחזורית וסוטה במקצת מתנועה הרמונית, אך בקירוב זוויות קטנות אפשר להתייחס לתנועתה כתנועה הרמונית.

נניח שמסת המטוטלת היא m והיא מחוברת לתקרה בחוט אידאלי חסר משקל באורך $\ l$ בתוך שדה כבידה אחיד g. נסמן ב $\theta$ את הזווית בין המטוטלת לאנך.

הכוח המחזיר יהיה הרכיב של כוח הכובד בכיוון המשיק לתנועה הרדיאלית של המטוטלת, כלומר: $\ F = -mg \sin{(\theta)}$. לכן, משוואת התנועה תהיה:

$m \ddot{l \theta} = -mg \sin\theta$

בקירוב של זוויות קטנות $\sin{\theta} \approx \theta$, ומאחר ש-$\ l$ נשאר קבוע, מקבלים את משוואת התנועה:

$\ddot{\theta} = - \frac{g}{l} \theta$

חשוב שוב להדגיש, שזו בקירוב תנועה הרמונית שכן משוואת התנועה היא משוואה מקורבת. במקרה של מטוטלת אפשר לפתור גם את המשוואה הלא-לינארית באופן אנליטי, הפתרון הוא אינטגרל אליפטי. גם מטוטלת שאינה מורכבת ממסה נקודתית מקיימת תנודה הרמונית בקירוב - למעשה, כל גוף בעל מסה התלוי מנקודה אחת מהווה מתנד הרמוני. מטוטלת כזו נקראת מטוטלת פיזיקלית.

מעגל LC

מעגל LC אידאלי (ללא התנגדות) - זהו מעגל המכיל קבל וסליל, ובו האנרגיה האלקטרומגנטית עוברת בין הקבל לסליל באופן מחזורי הרמוני.

מכך שהמתח הכללי על המעגל הוא 0 (על פי חוקי קירכהוף) ניתן להסיק כי:

$\ L {dI \over dt} + {q \over C} = 0$

כאשר:

• q הוא המטען שאגור בקבל.
• C הוא הקיבול של הקבל.
• I הוא הזרם במעגל.
• L הוא ההשראות של הסליל.

ומאחר ש $\ I = \frac{dq}{dt}$, נובע ש

$\ L \frac{d^2 q}{dt^2} +\frac{q}{C} = 0$, ולכן $\ \frac{d^2 q}{dt^2} + {q \over LC} = 0$ וכאן תדירות התנועה היא $\omega = \sqrt{{1 \over LC}}$.

מעגל RLC, הוא אותו מעגל, בתוספת נגד. מעגל שכזה הוא מתנד הרמוני משוכך, כיוון שהוא מקיים את המשוואה:

$L \frac{d^2 q}{dt^2} +R \frac{dq}{dt} + \frac{q}{c} = 0$.

מבחינה מתמטית, מעגל RLC שקול למתנד הרמוני מרוסן הבנוי ממסה המחוברת לקפיץ עם שיכוך תלוי מהירות, כמו זה שהוצג למעלה. האנלוגיה למתנד מכני היא:

מתנד מכני	מתנד חשמלי
מסה - m	השראות הסליל- L
קבוע הקפיץ - k	1 חלקי הקיבול - $\frac {1}{C}$
העתק - x	מטען חשמלי - q
מהירות - v	זרם - I
שיכוך - b	התנגדות - R
$\ \omega_0 =\sqrt{ \frac{k}{m}}$	$\ \omega_0 = \sqrt { \frac {1}{LC}}$
$\tau = \frac{2m}{b}$	$\tau = \frac{2L}{R}$

פתרון המשוואות

הניתוח המובא פה הוא למקרה המתואר למעלה: מסה $\ m$ מחוברת לקפיץ בעל קבוע $\ K$, עם מקדם חיכוך $\ b$ (כאמור, מתנד הרמוני פשוט הוא מקרה פרטי בו מתקיים $\ b=0$) . המשוואה המתארת את המצב היא:

$\ \ddot x+ \frac{b}{m} \dot x + \frac{K}{m} x =0$

זוהי משוואה דיפרנציאלית הומוגנית ולינארית, מסדר שני. במשוואות מסוג זה, מרחב הפונקציות המקיימות את המשוואה הוא מרחב וקטורי מממד שתיים. לכן מספיק למצוא שתי פונקציות (בלתי תלויות) שמקיימות את המשוואה - הן יהיו בסיס שלם למרחב כל הפתרונות האפשריים. מנחשים פתרון מהסוג $\ x (t)= A e^{\lambda t}$, (המקדם $\lambda$ יכול להיות מרוכב). כאשר מציבים את הפונקציה הזו במשוואה, ולפי תכונת האקספוננט, $\ (e^{\lambda x})' = \lambda e^{\lambda x}$, מתקבל פולינום ממעלה שנייה שפתרונו פשוט: $\ \lambda^2 + \frac{b}{m}\lambda + \frac{K}{m} =0$.

זוהי משוואה ריבועית שפתרונותיה הם $\ \lambda_{1,2} = - \alpha \pm \sqrt{\alpha^2-\omega_0^2}$. כאן $\ \omega_0 = \sqrt{\frac{K}{m}}, \ \alpha = \frac{b}{2m}$. מכיוון שהפתרונות יכולים להיות מרוכבים, יש תמיד פתרון למשוואה. שימו לב כי אם אין חיכוך, $\ b=0$ ואז $\ \lambda=i\omega_0$.

כעת ישנם שלושה מקרים מובחנים:

• אם $\alpha^2 - \omega_0^2= 0$, ישנו פתרון ממשי שלילי עבור $\ \lambda$. הפתרון למקרה הכללי הוא חיבור של שני פונקציות אקספוננציאליות דועכות:

$(\alpha,\omega_0>0),\ \ X(t)=Ae^{-\alpha t}+Bte^{-\alpha t}= Ae^{-\omega_0 t}+Bte^{-\omega_0 t}$

זהו מצב של שיכוך-קריטי, שבו לא יתרחשו תנודות, אלא התנועה תדעך לאפס. התנאי לשיכוך קריטי הוא שהדיסקרימננטה תהיה אפס, משמע $\ \frac{b^2}{4m^2}-\frac{K}{m}=0$, כלומר $\ b^2= 4Km$.

• אם $\alpha^2 - \omega_0^2> 0$, ישנם שני פתרונות ממשיים שליליים עבור $\ \lambda$. הפתרון למקרה הכללי הוא חיבור של שני פונקציות אקספוננציאליות דועכות:

$(\lambda_1,\lambda_2<0),\ \ X(t)=Ae^{\lambda_1t}+Be^{\lambda_2t}$

זהו מצב של שיכוך-יתר, שבו לא יתרחשו תנודות, אלא התנועה תדעך לאפס. התנאי לשיכוך יתר הוא שהדיסקרימננטה תהיה חיובית, משמע $\ \frac{b^2}{4m^2}-\frac{K}{m}>0$, כלומר $\ b^2> 4Km$.

• אם $\alpha^2 - \omega_0^2 < 0$, מתקבלים שני פתרונות מרוכבים צמודים. זהו המקרה המעניין יותר, וממילא גם השכיח יותר, שבו השיכוך קטן ולכן מתרחשות תנודות הרמוניות דועכות. בהצבת פתרונות המשוואה הריבועית, ושימוש בנוסחת אוילר, מקבלים את שני הפתרונות למשוואה הדיפרנציאלית:

$\ y_1(t) = e^{(-\alpha + i \sqrt{ \omega_0^2-\alpha^2})t}=e^{-\alpha t}(\cos(\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}\cdot t)+i \sin (\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}\cdot t))$

$\ y_2(t) = e^{(-\alpha - i \sqrt{ \omega_0^2-\alpha^2})t}=e^{-\alpha t}(\cos(\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}\cdot t)-i \sin (\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}\cdot t))$

לשם נוחות, נסמן $\omega = \sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}$.

פתרון המשוואה הכללי הוא מהצורה $\ y(t)= Ay_1(t)+By_2(t)$. כאן $\ A$ ו-$\ B$ הם קבועים כלשהם, התלויים בתנאי ההתחלה של הבעיה. כיוון שרק פתרון ממשי הוא פיזיקלי, נדרש $\ Ay_1= \overline{By_2}$ (הקו העליון מסמן צמוד מרוכב). מאחר שמתקיים ממילא $\ y_1 = \overline{y_2}$, חייב להתקיים $A= \overline{B}$. כך מתקבל פתרון ממשי טהור מהצורה

$\ y(t) = (A+\overline{A}) e^{-\alpha t} \sin(\omega t) + i(A-\overline{A}) e^{-\alpha t} \cos(\omega t)$.

כל המקדמים בביטוי הם ממשיים, ולכן ניתן לפשט את הסכום לביטוי יחיד המכיל מופע:

$\ y(t) = A_0 e^{-\alpha t} \sin(\omega t+\phi)$.

כאן $\ A_0, \phi$ הן המופע והמשרעת ההתחלתיים, הנקבעים על ידי תנאי ההתחלה של הבעיה. פתרון זה מתאר תנודה הרמונית בתדירות זוויתית

$\omega = \sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}$

עם משרעת דועכת בזמן. מכיוון שלמקדם $\ \alpha$ יש יחידות של $\frac{1}{\mbox{sec}}$ , נהוג להגדיר את הזמן האופייני $\ \tau = \frac{1}{\alpha} = \frac{2m}{b}$.

במקרה בו אין חיכוך, $\ b=0$ ולכן $\ \alpha =0$ ומקבלים את הביטוי המוכר של תנודה הרמונית פשוטה: $\ y(t) = A_0 \sin(\omega_0 t+\phi)$.

ראו גם

• תהודה
• תורת התנודות
• אנליזת פורייה: טור פורייה והתמרת פורייה
• מתנד הרמוני קוונטי
• אופני תנודה עצמיים