המשפט היסודי של האריתמטיקה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, ובפרט בתורת המספרים, המשפט היסודי של האריתמטיקה הוא המשפט הקובע כי כל מספר טבעי יכול להיכתב כמכפלה ייחודית של מספרים ראשוניים, עד כדי שינוי הסדר של הגורמים. בכלל זה מכפלה של גורם אחד (כאשר המספר הוא ראשוני בעצמו), ומכפלה ריקה של אפס גורמים (המספר 1).

למשל, את המספר \!\, 1176 ניתן לכתוב כמכפלה הבאה של מספרים ראשוניים: \!\, 1176=2^3\cdot 3\cdot 7^2. אין שום דרך אחרת לכתוב את המספר הזה בתור מכפלת ראשוניים.

המשפט מראה כי למספרים הראשוניים חשיבות רבה - הם מהווים את "אבני הבניה" הבסיסיות של כל המספרים. למשפט שימושים רבים, החל במציאת המחלק המשותף המקסימלי של מספרים וכלה בהוכחת משפט האי-שלמות של גדל.

הוכחת המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

המשפט היסודי של האריתמטיקה הוכח על-ידי אוקלידס. להוכחה זו שני מרכיבים: בראשון מוכיחים כי לכל מספר טבעי קיים פירוק לגורמים ראשוניים, ובשני מוכיחים כי פירוק כזה הוא יחיד.

שלב א' - קיום[עריכת קוד מקור | עריכה]

ההוכחה היא באינדוקציה שלמה. עבור n טבעי, נניח שכל מספר קטן מ-n ניתן לכתוב כמכפלה של גורמים ראשוניים. אם n ראשוני, אז הוא מוצג כמכפלה של גורם ראשוני אחד, כדרוש. נניח ש- n אינו ראשוני, אז אפשר לפרק אותו לגורמים קטנים יותר, n=ab. לפי הנחת האינדוקציה, אפשר לכתוב כל אחד מן הגורמים a ו- b כמכפלה של ראשוניים, ולכן ניתן לכתוב את n כמכפלה של הגורמים הראשוניים של a ושל b יחד.

שלב ב' - יחידות[עריכת קוד מקור | עריכה]

היחידות מבוססת על הלמה של אוקלידס: אם מספר ראשוני p מחלק מכפלה, אז הוא מוכרח לחלק אחד מן הגורמים.

נוכיח יחידות באינדוקציה על n. נניח כי לכל מספר שלם חיובי קטן מ-n יש הצגה יחידה כמכפלה של גורמים ראשוניים ואילו ל-\ n קיימים שני פירוקים שונים למכפלת גורמים ראשוניים \ n = p_1p_2 \cdots p_r = q_1q_2 \cdots q_s. מכיוון ש- \ p_1 ראשוני, הוא מקיים את תכונת אוקלידס, ומחלק אחד מן הגורמים במכפלה האחרת, נאמר \ q_j. אבל \ q_j עצמו ראשוני, ומכאן ש- \ p_1=q_j. כעת אפשר לצמצם את שני הגורמים הללו, ולקבל מספר קטן יותר מ-n. לפי הנחת האינדוקציה, למספר החדש יש פירוק יחיד ומכאן שהגורמים בשתי ההצגות שהתקבלו שווים זה לזה בהתאמה. מכאן גם נובע שהפירוק של n הוא יחיד, וההנחה שיש לו שני פירוקים שונים שגויה. כפי שרצינו להוכיח.

הכללות[עריכת קוד מקור | עריכה]

את המושגים "איבר אי-פריק" ו"איבר ראשוני" אפשר להגדיר בכל תחום שלמות: איבר לא הפיך הוא אי-פריק אם לא ניתן לכתוב אותו כמכפלה של איברים לא הפיכים, והוא ראשוני אם הוא אינו יכול לחלק מכפלה בלי לחלק את אחד מגורמיה. בחוג המספרים השלמים שני המושגים מתלכדים, ובדרך כלל מגדירים "מספר ראשוני" דווקא בהגדרה המתאימה לאיבר אי-פריק של החוג. איבר ראשוני הוא תמיד אי-פריק, אבל ההיפך אינו נכון.

המשפט היסודי של האריתמטיקה, או גרסאות אחרות שלו, מתקיים בתחומי שלמות מסוימים, אך לא בכולם. תכונת הקיום - כל איבר (לא הפיך) אפשר לכתוב כמכפלה של איברים אי-פריקים - מגדירה סוג של תחומי שלמות הנקראים "אטומיים", והיא מתקיימת בכל תחום שלמות נותרי. לעומת זאת, פירוק לגורמים ראשוניים עשוי שלא להיות קיים אפילו בתחום נותרי: אם קיים פירוק לגורמים ראשוניים, אז הוא יחיד, עד כדי סדר (בין כל הפירוקים לגורמים אי-פריקים).

יחידות הפירוק, כאמור, היא עניין סבוך יותר. תחום שבו מתקיים המשפט היסודי של האריתמטיקה - כל איבר (לא הפיך) מתפרק באופן יחיד לגורמים אי-פריקים - נקרא תחום פריקות יחידה. בדיוק כמו בחוג השלמים, בחוג כזה מתלכדים המושגים "איבר ראשוני" ו"איבר אי-פריק". הדוגמאות הבולטות לחוג כזה: כל תחום ראשי (ובפרט - כל תחום אוקלידי), וגם כל חוג פולינומים מעל שדה, בכל מספר של משתנים. החוג \ F[\lambda_1,\lambda_2,\dots] (עם אינסוף משתנים) הוא דוגמה לתחום פריקות יחידה שאינו נותרי.

הכללה בכיוון אחר מתקבלת ממשפט ז'ורדן-הולדר לפיו סדרת הרכב של חבורה סופית היא יחידה עד-כדי סדר ועד-כדי איזומורפיזם של חבורות. במקרה של חבורות מהצורה \mathbb{Z}_n - זהו ניסוח שקול למשפט היחידות של הפירוק לראשוניים. משפטים דומים לגבי קיום ויחידות סדרת ההרכב מתקיימים גם במבנים אלגבריים נוספים.