פונקציית ויירשטראס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

פונקציית ויירשטראס היא הדוגמה הראשונה שפורסמה לפונקציה רציפה בכל נקודה על הישר הממשי אך לא גזירה באף נקודה.

לפי משפט הקטגוריה של בייר, אוסף הפונקציות הרציפות f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} הגזירות בנקודה אחת לפחות הוא קבוצה מקטגוריה ראשונה. בצורה פשטנית אומר המשפט כי "רוב" הפונקציות הרציפות אינן גזירות באף נקודה, אולם המשפט אינו מצביע על פונקציה מסוימת כזו. הדוגמה הראשונה שפורסמה לפונקציה כזו היא זו שנתן קארל ויירשטראס בשנת 1872 (היסטורית, הדוגמה של ויירשטראס קדמה להוכחת משפט הקטגוריה).

הגדרת הפונקציה היא: \ f(x)=\sum_{n=0}^\infty a^n\cos(b^n\pi x) כאשר \ 0<a<1 ו b שלם אי זוגי כך ש -\ ab>1+\frac{3}{2}\pi. גרף עבור פונקציית ויירשטרס הבאה: \ f(x)=\sum_{n=0}^\infty (1/2)^n\cos(21^n\pi x):

WeierstrassFunction.svg

פונקציית ויירשטרס היא מעין פרקטל, מאחר שהיא מורכבת מאינסוף עותקים של הרמוניה בסיסית, העוברת שני שינויי סקלה (במשרעת ובתדירות).

ממד האוסדורף של הפונקציה קטן או שווה ל-\textstyle\frac{\log a}{\log b} + 2; הערך המדויק אינו ידוע, אבל משערים שהוא שווה לחסם העליון.

קל לראות שהפונקציה רציפה, משום שהטור מתכנס במידה שווה. ההוכחה שהפונקציה אינה גזירה באף נקודה מורכבת יותר.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]