משפט הקטגוריה של בייר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משפט הקטגוריה של בייר (Baire) הוא משפט שימושי מאוד באנליזה פונקציונלית ובטופולוגיה קבוצתית. בעזרת המשפט אפשר להוכיח את קיומן של נקודות מסוימות במרחב מטרי שלם. נקודות אלו יכולות להיות למשל פונקציות בעלות תכונות מיוחדות.

ניסוח המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי \ X מרחב מטרי שלם. אזי הפנים של כל קבוצה מקטגוריה ראשונה ב-\ X הוא ריק.

כאשר קבוצה מקטגוריה ראשונה היא קבוצה הניתנת להצגה כאיחוד בן מנייה של קבוצות דלילות. קבוצה דלילה היא קבוצה שהפנים של הסגור שלה הוא ריק.

באופן כללי, איחוד אינסופי של קבוצות דלילות לאו דווקא דליל ואף להפך. כך לדוגמה, המספרים הרציונליים ניתנים להצגה כאיחוד בן מנייה של יחידונים וכל אחד מהם בנפרד הוא קבוצה דלילה. לפי משפט בייר, הפנים של הרציונליים, שהם קבוצה מהקטגוריה הראשונה, הוא ריק, עובדה שקל לוודא באופן ישיר. אך קבוצת הרציונליים אינה דלילה, אלא דווקא צפופה בישר הממשי, ולכן הפנים של הסגור שלה אינו ריק - הוא כל הישר.

הוכחת המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח ש-\ X מרחב מטרי שלם ו-\ A_n קבוצות דלילות, בלי הגבלת הכלליות אפשר להניח שהן סגורות. כדי להראות ש A=\bigcup A_n עם פנים ריק, מספיק להראות שלכל קבוצה פתוחה U\subseteq X קיימת נקודה שאינה ב-\ A, כלומר U\cap A^c \neq \emptyset.

נסתכל על קבוצה פתוחה \ U כלשהי. נסמן K_n = \bigcup_{i=1}^n A_i. נבנה סדרה של \ x_i \in X ו-\ r_i>0 המקיימים:

  1. \ \overline {B(x_i,r_i)}\subseteq U\cap K_i ^c
  2. \overline {B(x_i,r_i)} \subseteq \overline {B(x_{i-1},r_{i-1})}
  3. \ 2r_i < r_{i-1}

מהתנאי השני, מקבלים סדרת כדורים סגורים, כאשר כל כדור מכיל את כל הכדורים אחריו בסדרה. התנאי הראשון ידאג לכך שהחיתוך של כל הכדורים יהיה זר ל A. התנאי השלישי יגרום לכך שהקוטר של הכדורים ישאף לאפס, ואז יהיה ניתן להפעיל את משפט החיתוך של קנטור, כדי להראות שהחיתוך לא ריק - פה משתמשים בעובדה שהמרחב שלם.

נראה באינדוקציה כיצד בונים את הסדרה:

מאחר ש-\ A_1 דלילה אז קיימת נקודה x_1 \in U\cap A_1^c. הקבוצה U\cap A_1 ^c היא פתוחה לכן קיים \ r_1>0 כך ש-B(x_1,2r_1)\subseteq U\cap A_1 ^c. עתה מקבלים כי \ \overline {B(x_1,r_1)}\subseteq U\cap A_1 ^c.

נניח שמצאנו את \ n הנקודות הראשונות בסדרה.

הקבוצה \ B(x_n, r_n) היא קבוצה פתוחה ולכן, משום ש-\ A_{n+1} סגורה ודלילה, קיימים \ x_{n+1}\in X ו-\ r_{n+1}>0 כך ש

B(x_{n+1},2r_{n+1})\subseteq \left( B(x_{n},r_{n})\cap A_{n+1} ^c \right) \subseteq U\cap K_{n+1} ^c

ולכן גם \overline {B(x_{n+1},r_{n+1})} \subseteq \overline {B(x_{n},r_{n})}.

בלי הגבלת הכלליות אפשר להניח כי \ r_1<\frac{1}{2} ואז מבניית הסדרות מקבלים ש \ r_n<2^{-n}.

הסדרה \ (x_1,x_2,x_3,\dots) היא סדרת קושי וזאת מאחר שאם \ n>m אז x_n ,x_m \in B(x_m, r_m) ומכאן מקבלים ש-\ \|x_n - x_m\|< 2r_m < 2 \cdot 2^{-m}. המרחב \ X הוא שלם ולכן הסדרה מתכנסת לגבול \ x.

לכל \ n, זנב הסדרה החל מהאיבר ה-\ n-י מוכל ב-\overline {B(x_n,r_n)} שזו קבוצה סגורה ולכן \ x \in \overline {B(x_n,r_n)} \subseteq U \cap K_n ^c לכל \ n, ולכן

x\in \bigcap_n \overline {B(x_n,r_n)} \subseteq U \cap \left(\bigcap_n K_n ^c \right) = U \cap \left( \bigcup_n K_n \right)^c = U\cap A^c

קיבלנו ש-\ U\cap A^c \neq \emptyset לכל קבוצה פתוחה \ U, ולכן \ A היא בעלת פנים ריק.

מסקנות מן המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

מן המשפט נובעות מסקנות רבות. לדוגמה: