ריבוע קסם

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

ריבוע הקסם מתוך התחריט מלנכוליה של אלברכט דירר; בתחתית הריבוע שנת יצירתו - 1514.

במתמטיקה, ריבוע קסם הוא מטריצה ריבועית (מסדר $\!\, n\times n$ ), שמכילה מספרים טבעיים מ-1 ועד n² בסדר כלשהו, כך שסכום המספרים בכל שורה, בכל עמודה ובשני האלכסונים יהיה זהה. סכום זה מכונה "קבוע הקסם", וערכו

$M_2(n) = \frac{n(n^2+1)}{2}$ .

תוכן עניינים

1 היסטוריה
2 קבוע הקסם
3 דוגמאות לריבועי קסם
- 3.1 ריבוע קסם מסדר 3
- 3.2 ריבוע קסם מסדר 4
4 בניית ריבוע קסם מסדר אי־זוגי
5 ראו גם

[עריכה] היסטוריה

ריבועי קסם מעוררים עניין בבני אדם זמן רב. בימי קדם היו קשורים עם העל טבעי והעולם הקסום. הם נמצאו בממצאים ארכאולוגים של ערים אסיאתיות קדומות, ולמעשה, האזכור הקדום ביותר של ריבוע קסם הוא מסין, בערך מ-2800 לפני הספירה. הוא נקרא "lo-shu" והאגדות מספרות כי ריבוע הקסם הזה נראה לראשונה על ידי הקיסר "Yu" על גבו של צב שמימי על הגדה של הנהר הצהוב, lo.

בתחריט מלנכוליה שנעשה בשנת 1514 על ידי אלברכט דירר מופיע ריבוע קסם שכזה. דירר שיבץ את שנת היצירה בתחריט.

במאה התשיעית, ריבועי קסם חלחלו אל תוך עולם האסטרולוגיה, כאשר אסטרולוגים ערבים השתמשו בהם בחישובי הורוסקופים. עם העבודות של המתמטיקאי היווני Moschopoulos ב-1300 לספירה, ריבועי קסם ותכונותיהם התפשטו אל תוך העולם המערבי, בעיקר בתקופת הרנסאנס.

[עריכה] קבוע הקסם

בריבוע הקסם משובצים המספרים $\ 1,2, \dots,n^2$ , שסכומם הוא סכום סדרה חשבונית, $\ \frac{n^2(n^2+1)}{2}$ . מכיוון שסכום המספרים בכל אחת מ- n השורות אמור להיות קבוע, הסכום בכל שורה שווה ל- $\ \frac{n(n^2+1)}{2}$ ; כך גם לעמודות.

[עריכה] דוגמאות לריבועי קסם

[עריכה] ריבוע קסם מסדר 3

4	9	2
3	5	7
8	1	6

[עריכה] ריבוע קסם מסדר 4

דוגמה נוספת היא לריבוע קסם מסדר 4 המכיל תכונות מעניינות נוספות:

[עריכה] בניית ריבוע קסם מסדר אי־זוגי

קיימת דרך פשוטה לבניית ריבוע קסם מסדר $\ X$ כאשר $\ X$ הוא מספר טבעי אי-זוגי. יש לכתוב בריבוע את כל המספרים מ־ $\ 1$ ועד $\ X^2$ לפי הסדר על־פי הכללים הבאים:

כתבו את הספרה 1 במשבצת במרכז השורה העליונה.
מעתה והלאה יש לנוע למשבצת הסמוכה באלכסון למעלה וימינה. חריגים:
- אם מגיעים לקצה הריבוע - יש לחזור מצדו השני:
  - אם מגיעים לקצה העליון של הריבוע - חוזרים מהקצה התחתון.
  - אם מגיעים לקצה הימני של הריבוע - חוזרים מהקצה השמאלי.
- אם המשבצת שאליה הגעתם לא ריקה, יש לנוע משבצת אחת למטה במקום באלכסון למעלה וימינה.
כתבו את המספר הבא במשבצת שאליה הגעתם.

דוגמה לבניית ריבוע קסם מסדר 5 עם סכום 65